Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [ 107 ] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Для сверхзвуковых течений псвязкого газа, когда уравнения являются чисто гиперболическими, естественным численным методом расчета является метод характеристик (Курант и Фридрихе [1948]; Овчарек [1964]). В этом широко известном методе расчетная сетка ие прямоугольная и не известна заранее, а выстраивается вместе с продвижением решения в процессе расчета. Этот метод дает наиболее точные результаты, так как расчет проводится по узловым точкам, лежащим на характеристиках, поперек которых производные могут претерпевать разрыв. (Дальнейшее описание и ссылки относительно двух-и трехмерного метода характеристик приведены в разд. 6.4.) Основным ограничением метода характеристик является невозможность включения в него вязких эффектов, если не обращаться к концепции пограничного слоя.

Бойнтон и Томсон [1969] разработали метод расчета с продвижением решения по пространственпой координате, который является пространственным аналогом нестационарных лагранжевых методов. В этом методе допускается диффузия по нормали к координате, связанной с линией тока, а скачки, как и в методе характеристик, выделяются.

Необычный графический метод для расчета сверхзвуковых течений без скачков был предложен Ринглебом [1963] и развит Чау и Мортимером [1966]. Применение этого метода ограничивалось течением между двумя фиксированными линиями тока наподобие течения внутри сонла. Чау и Мортимер [1966] обобщили метод Ринглеба для учета вязких эффектов.

Для численного решения гиперболических уравнений без ударных волн было разработано несколько нестационарных методов, например метод Бабенко и Воскресенского [1961] и метод Гурли и Морриса [1968].

Эти и другие методы расчета течений без скачков могут применяться в сочетании с различными схемами выделения ударных волн, в которых эти волны рассматриваются как разрывы и при переходе через них используются соотношения Рэнкина - Гюгонио (см. Овчарек [1964]). Возможно приложение такого подхода к одномерным задачам на эйлеровой фиксированной сетке (Рихтмайер [1957]), однако представляется, что выделение скачков на фиксированных прямоугольных сетках в двумерных задачах трудноосуществимо (Скоглунд и Коул [1966]). Методы выделения скачка на криволинейных сетках с преобразованием скачков очень трудоемки, но дают большую точность (см. разд. 4.3).

Другой подход к расчету течений со скачками заключается в изменении вычислительной процедуры для продолжения решения через скачок. Для этой цели Томас [1954] использовал одномерную полиномиальную интерполяцию высокого порядка



И измельченную сетку в окрестности скачка. Т. Д. Тейлор [1964] также предложил локальную схему интегрирования при переходе через скачок. Беллман с соавторами [1958] разработал схему перехода через скачок при расчете по методу характеристик; при этом начальные данные для расчета по характеристикам в плоскости (х, t) находятся с помощью щеститочеч-ной интерполяции Лагранжа но узловым точкам прямоугольной расчетной сетки в плоскости {x,t). При этом выяснилось, что хорошие параметры на скачке и безусловная устойчивость расчета достигались только для уравнения Бюргерса, а для более общих гиперболических уравнений расчет оказывался неустойчивым. Представляется, что эти старые методы неудобны для расчета на ЭВМ и плохо приспособлены к решению двумерных и нестационарных задач.

В некоторых случаях слабый скачок внутри течения невязкого газа можно рассчитывать при помощи метода характеристик как почти линейную волну сжатия. Метод иеизэнтроии-ческих характеристик Вейнбаума [1966], например, достаточно точно дает местоположение начальной точки скачка и прирост давления на нем; см. также работу Баума и Оренбергера [1971]. Метод характеристик может быть использован также в сочетании с методом выделения скачка; при этом появление скачка обнаруживается по пересечению характеристик одного семейства. Распространение скачков в решении, проводимом по методу характеристик, описано Томасом [1954]. Ксерикос [1968], пользуясь цилиндрическими координатами, детально изложил метод выделения головного скачка и скачка, вызванного изломом образующей тела. Д. Б. Тейлор [1968] разработал метод выделения скачка при решении методом характеристик, позволяющий прослеживать большое число слабых косых скачков.

В нестационарном методе Моретти (Моретти и Аббетт [1966], Моретти и Блейх [1967], Моретти [1968а]) расчет движущейся ударной волны проводится методом характеристик, а все остальные вычисления осуществляются на четырехугольной сетке, не являющейся характеристической. В отличие от других методов выделения скачков данный метод успешно применялся для расчета обтекания затупленных тел. Использованная здесь четырехугольная сетка не является прямоугольной и не фиксирована в пространстве, а определяется неортогональным преобразованием координат, зависящим от времени так, что в каждый момент времени контур тела и отошедшая ударная волна представляют собой координатные линии.

Этому методу присущи некоторые недостатки. Алгоритм метода, уравнения и програмыировагию очень сложны, в особенности при учете эффектов вязкости и при распространении



метода па трехмерные течения. При создании программы на ЭВМ необходимо заранее знать двумерную структуру скачков; например, незапланированное появление маховского отражения (Овчарек [1964]), вероятно, приведет к невозможности продолжения расчета. Кроме того, до настоящего времени не было предложено методов для расчета скачка, формирующегося при постепенном слиянии слабых волн сжатия, как это происходит в постепенно сужающемся канале или при образовании ударной волны в ближнем следе за телом. В тех случаях, когда применение метода Моретти возможно, он дает очень точные результаты и требует мало машинного времени. Дальнейшее обсуждение этого метода см. в разд. 6.2.

Частным методом выделения стационарного скачка является обратный метод Ван-Дайка для задачи обтекания затупленного тела с отошедшей ударной волной (Ван-Дайк [1958], Га-рабедян и Либерштейп [1958]). Здесь опять решение строится не на фиксированной эйлеровой сетке, а на сетке, меняющейся от итерации к итерации. Задается форма отошедшей головной ударной волны, и уравпспня дозвукового течения интегрируются от ударной волны до тела, т. е. но заданной форме ударной волны отыскивается форма обтекающего тела. В принципе, варьируя форму ударной волны, можно найти желаемую форму тела, однако при нахождении формы тел с резко меняющейся кривизной возникают значительные трудности.

Слабой стороной этого метода является то, что для эллиптических уравнений дозвукового течения решается ие краевая задача, а задача с начальными данными, которая оказывается неустойчивой (см. разд. 3.2.8). Успешность применения этого метода определяется применением одиннадцатиточечной интер-поляцнн для сглаживания производных от начальных данных вдоль ударной волны. Если между ударной волной и телом брать более семи точек, то может наступить неустойчивость. Однако для гладких тел при больших числах Маха метод дает быструю сходимость и применяется для расчетов.

Укажем некоторые работы по другим методам и алгоритмам, предложенным для решения обратных задач. Уэбб с соавторами [1967] проводил расчеты на ЭВМ с удвоенной точностью для уменьшения ошибок округления и был вынул<лен сглаживать начальные данные для обеспечения устойчивости. Их схему нельзя считать удовлетворительной, так как неясно, чем определяется полученное решение: физикой явления или сглаживанием начальных данных. При помощи обратного метода Бриггс [1960] решал задачу об обтекании эллиптического конуса под углом атаки. Много вопросов, связанных с обратным методом, затронуто в работе Пауэрса с соавторами [1967]. Джонс [1968] разработал обратный метод для конических тел,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [ 107 ] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199