Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

запуска сопла. Гофман и Ро [1968], а также Уилкинс [1969] использовали ее в двумерных задачах с лагранжевым оииса-иием, причем последний применил также перестройку лагран-жевой сетки для нейтрализации ее больших деформаций. Уилкинс [1970] рассчитывал разнообразные двумерные задачи - от задач теории упругости до газодинамических задач. Изменяющийся вид коэффициента ав брал Ван Леер [1969] для расчета распространения ударной волны в лагранжевых координатах с переменным шагом сетки. Для сравнения различных схем Тайлер и Эллис [1970] применяли эйлерову форму (5.8) коэффициента ав. Плустер [1970] с успехом использовал ее для расчета задач взрыва в цилиндрических координатах.

5.4.2. Схемы Ландсхофа и Лонгли

Ландсхоф [1955] экспериментировал с уравнениями в ла-гранжевой форме с членом q, зависящим от градиента скорости не квадратично, а линейно:

92 = -72ро(Ах)(5м/(Эх1, (5.10)

что эквивалентно введению искусственной вязкости с коэффициентом

ав = роАх/2. (5.11)

Он обнаружил, что член qi фон Неймана - Рихтмайера приводит к большему начальному всплеску, но и к большему затуханию осцилляции, чем это имеет место при члене 92- Он рекомендовал выбирать q в виде линейной комбинации q = = q\ -\-q-2 при &1 =/г в формуле (5.8), что ведет к приемлемому компромиссу. Эмери [1968] указывает, что выбор q2 согласно (5.10) дает большие колебания плотности.

Лонгли [1960] экспериментировал на эйлеровой сетке с четырьмя различными выражениями для искусственной вязкости. Кроме члена q\ фон Неймана - Рихтмайера и члена qz Ландсхофа он рассматривал члены

<7з = -/2Ь1рАхм(9м/(Эх, (5.12)

что является явным аналогом неявной вязкости при использовании конечных разностей против потока в методе частиц в ячейках (см. разд. 5.5.1, 5.5.3); в этом случае

ав = ЬрмАх/2. (5.13)

Лонгли такл<е предложил свою форму

94=-V2b,Ax 1 . (5.14)



что дает

ав = у- = Vyp/P Ах, (5.15)

где а - скорость звука. Последние две формы искусственной вязкости особенно эффективны в областях торможения при отражениях скачков, в которые другие схемы не работают. При всех четырех формах q в конечно-разностных схемах получаются нравильпые скорости движения скачков (из-за применения уравнений в консервативном виде).

5.4.3. Схема Русанова

Для расчета двумерных течений особенно эффективной схемой с введением явной искусственной вязкости является схема Русанова [1961]. В основе схемы Русанова лежит введение членов с искусственной диффузией общего вида д{авди/дх)/дх в конечно-разностные недиссипативные уравнения для dU/dt (где и = р, ри, pv, Es), причем берутся разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным. Таким образом, в схему вводится не только искусственная вязкость, но и искусственная теплопроводность и искусственная диффузия массы). Коэффициент искусственной диффузии пропорционален К4-а и некоторому эмпирически подбираемому параметру со. Форма д{авди/дх) /дх позволяет получить более точные решения со скачками, чем более простая форма авди/дх (Ван Леер [1969]).

Схема Русанова в ее исходном виде содержит ряд тонкостей; в частности, большое внимание уделяется более сложному случаю неравных шагов ЛхЛу, имеющему важное практическое значение. Эту схему и присущие ей условия устойчивости, удобно описать с помощью введения двумерного числа Куранта

C2D{V + a)M+IyL, (5.16)

АхАу

где К = V" + ~ абсолютная величина местной скорости, а - местная скорость звука. Тогда с использованием принятых обозначений в рассматриваемой схеме уравнение (4.63а) запишется в виде

4г + + + (G + ByU) = О, (5.17)

) В этом отношении схема Русанова аналогична схеме Лакса (см. разд. 6.5,4).



причем

= Ах/Ау (5.18)

СО Р

вх == р2 j. 1 Qd. 0ду = а) р2 . 1 Сгв- (5.19)

Для устойчивости требуется выполнение во всем иоле течения обычного условия

С2о<\, (5.20)

а также еще одного условия, связанного с введением членов с искусственной диффузией,

С2в<«<-рД-. (5.21)

(Ван Леер [1969] показал, что такой вид достаточного условия устойчивости является общим для подобного класса численных схем.)

Скоглунд и Коул [1966] опробовали все комбинации из семи различных значений а (где ог = тахС2д) и шести различных

значений со для расчета ударной волны и нашли, что наилучшие результаты достигаются при а < 0,9 и со = 0.6. Они также заменили в числе Куранта абсолютную величину V -{- а выражением л/У-{-а и благодаря этому значительно увеличили точность расчета пограничного слоя). Скоглунд и Коул иримени-лн схему Русанова для расчета взаимодействия ударной волны и пограничного слоя с учетом ламинарной молекулярной вязкости. Цумвальт с сотрудниками успешно использовали схему Русанова для решения различных задач, в том числе для задач с турбулентной вихревой вязкостью (см. Тайлер [1965], Итон и Цумвальт [1967], Руо [1967), Уолкер с соавторами [1966], Бауэр с соавторами [1968], Прентис [1971]).

При помощи этой схемы двумерные течения рассчитывали также Кесслер [1968] и Эмери [1968]. Русанов и Любимов [1968] и Русанов [1969] обобщили данную схему на трехмерные задачи 2). Гудрич [1969] с помощью рассматриваемой схемы решил двумерные задачи с учетом ламинарной вязкости. Эмери и Ашёрст 1971] ирнменяли схему в сферической системе координат.

) При нестационарном анализе модификацию, предложенную Скоглургдо.ч и Коулом, можно также рассматривать в свете исследований Ван Леера [1969]. В этой модификации величина искусственной вязкости берется как нечто среднее между значением, принятым в псход1гом методе Русанова, и минимальным значением, необходимым для линейной устойчивости.

) В этих работах проведено обобщение на трехмерный случай не данной схемы В. В. Русанова, а другоГ! схемы, предложенной К. И. Бабснко н Г. П. Воскресенским [196\]. - Прим. ред.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199