Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

с «" и и" найти первое приближение а затем из уравнения Vifi = 5"+ определить первое приближение и На второй итерации конвективные члены в уравнении (3.308) можно

брать как средние и = V2 (и"и"") и т. п. Итерации можно закончить на этом или продолжать до {к-\-1)-й итерации, т. е. до тех пор, пока не будет выполняться условие («"+)* = = (и"+)*; в любом случае ошибка будет иметь порядок О {АР), как и в схеме (3.285); см. разд. 3.1.15. При одной итерации объем вычислений на одном временном шаге удваивается, и требуется дополнительная память для хранения

Другая возможная процедура заключается в том, что после решения уравнения (3.308а) вычисляется функция тока i}"+/2 и получаемые из нее значения и" v"+ подставляются в уравнение (3.3086). Это приводит к линеаризации только на первом полушаге. Такая процедура может оказаться более точной, чем процедура линеаризации по значениям и" и и", и не требует дополнительной памяти как схема со строго вторым порядком точности, поскольку здесь нет необходимости различать в памяти \}" и (То есть \}" и ifi"+2 имеют одинаковые идентификаторы в программе). Азиз и Хеллумс [1967] исследовали эти разновидности схем. Как и следовало ожидать,

схема со строго вторым порядком точности (\}" и \}"+) оказалась точнее, но для решения трехмерной задачи эти авторы применяли последнюю схему (ifi" и ifi+z), потому что объем используемой памяти в этом случае был на пределе.

В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий. Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для Вдоль некоторых границ можно задать условия для 5"+, допускающие неявное решение. Но на стенке с условием прилипания значения t,w на этой границе зависят от значений \} во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в разд. 3.3.2). Поэтому для определения значения 2+ на стенке требуется неявное решение уравнения Vifi"+ = 5"+. Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипания практически не поддается расчету даже при линеаризации скоростей по значениям и" и и".

Возможные процедуры расчета граничных значений идентичны рассмотренным выше возможным процедурам для и и V. Для значений на стенке можно принять "" = 2,



И в этом случае значения t, на стенке будут отставать на А/ от значений во внутренних точках. Такая схема использовалась в работе Уилкса и Черчилла [1966]. При малых At эта аппроксимация достаточно точна, но ведь основное преимущество неявных схем метода чередующихся направлений - возможность счета с большими шагами At. При больших At такая схема может оказаться не только не точной, но и дестабилизирующей. Решение при помощи итераций, как и при нахождении решения 113"+, очевидно, оказывается предпочтительнее.

При использовании неявных схем метода чередующихся направлений для расчета течений при больших Re (или при больших числах Грасгофа для течений со свободной конвекцией) многие исследователи обнаруживали вычислительную неустойчивость (или, возможно, очень малую скорость сходимости итераций). Они либо не смогли получить решение при больших Re (например, Парис и Уитекер [1965], Торранс [1968]), либо были вынуждены осреднять с весом рассчитанные данные на старом и новом слоях по времени (Пирсон [1965а]), что эквивалентно уменьшению At, либо переходили к схемам с разностями против потока для конвективных членов (Бао и Догерти [1969]), что в некоторой степени было эквивалентно уменьшению Re (см. разд. 3.1.8). Было неясно, чем обусловливалась потеря сходимости: медленной сходимостью линеаризованной задачи, нелинейной неустойчивостью уравнений во внутренних точках, отставанием на At в одношаговой процедуре, недостаточной степенью сходимости g," в итерационной процедуре или видом уравнения, используемого для расчета t,w по значениям ifi во внутренних точках. Определяющими оказались две последние причины, и в свете работы Брили [1970] возникающие здесь затруднения могут быть разрешены.

Затруднения, описанные Уилксом и Черчиллом [1966], связаны как с отставанием по времени (т. е. с тем, что его значение берется с предшествующего слоя), так и с частным видом разностного уравнения второго порядка точности, используемого для t,w. Результаты Брили, относящиеся к граничным условиям для t,w, будут приведены в разд. 3.3.2. Сэмюеле и Черчилл [1967] вернулись к уравнению первого порядка точности для t,w, которое не приводит к неустойчивости, благодаря чему им удалось продолжить расчеты авторов предшествующей работы для больших чисел Грасгофа до тех пор, пока отставание t,w на At не приводило к неустойчивости.

Степень сходимости требуемая для получения устойчивого решения, зависит прежде всего от самой задачи. При больших At сходимость может нарушаться из-за нелинейности. Очевидно, что при фиксированном числе итераций требуете??



меньший шаг At для достижения одной и той же точности сходимости итераций, т, е. одной и той же величины 6 в критерии сходимости + Торранс [1968] (см. также

Брили [1970], Брили и Уоллс [1971]) обнаружил, что условие сходимости для значения вихря на стенке в действительности накладывает ограничение на величину шага по времени вида

а/Ах, где а - некоторое число, зависящее от задачи и от требований сходимости. Несмотря на то что метод фон Неймана указывает на безусловную устойчивость рассматриваемой схемы, оказывается, что неявное определение значений t,w на стенке фактически приводит к ограничению на величину шага по времени, которое аналогично ограничению, имеющему место для простейшей явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Такое поведение присуще ие только неявным схемам метода чередующихся направлений, но и всем неявным схемам.

Хотя преимущества неявных схем метода чередующихся направлений над явными схемами практически не таковы, как это следует из анализа при помощи метода фон Неймана, опыт многих исследователей показывает, что неявные схемы метода чередующихся направлений допускают большие по величине размеры шагов по времени, ускоряют расчет в целом (вдвое и более) и, кроме того, дают возможность получить второй порядок точности по времени. Можно быть уверенным в том, что для простых прямоугольных областей такие схемы будут широко применяться и в дальнейшем. В случае же областей неправильной формы программирование для этих схем может усложниться и более практичными могут оказаться явные схемы.

Для успешного распространения основной неявной схемы метода чередующихся направлений (3.308) на случай трех пространственных переменных нужно принять во внимание некоторые тонкости. В наиболее очевидной схеме в этом случае надо выполнить три вычислительных шага с двумя промежуточными шагами при /-f АЗ и <-f 2Д 3. Эта схема уже не обладает ни вторым порядком точности по времени, ни безусловной устойчивостью (Рихтмайер и Мортон [1967]) и неустойчива при d > 2 (Карнахан с соавторами [1969]). Продемонстрируем такое распространение схемы на случай трехмерного уравнения диффузии

dl П31П

1н-\.дх+ ду + дг)- (3.311)

Дуглас [1962] предложил следующую трехшаговую схему (верхние индексы * и *-» относятся к промежуточным значе-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199