 |
 |
 |
 |
ниям, вычисленным с помощью алгоритма прогонки):
Г* - S" б
6x2 L2
бг/2 L2
т(Г + Г)1 + сх
бг (3.3126)
6x2 [ 2
4Г + Г) +СХ
бг/2 L 2
(Г + Г) +
+ (3.312B)
Схема имеет порядок точности О (А/, Ах, Аг/, Дг) и безусловно устойчива. Эта процедура может быть обобщена и на случай большего числа переменных. Дуглас и Ракфорд [1956], Дуглас и Ганн [1964] и Брайен [1961] предложили другие неявные схемы метода чередующихся направлений в случае трех пространственных переменных (см. также Карнахан с соавторами [1969]). Еще раз отметим, что казалось бы правдоподобные обобщения здесь часто оказываются неверными. Если в члене б/бх в уравнении (3.312в) вместо I* использовать последнее приближенное значение Q**, то, как показали Рихтмайер и Мортон [1967], безусловная устойчивость схемы будет утрачена.
Азиз и Хеллумс [1967] с успехом использовали трехмерные неявные схемы метода чередующихся направлений для полного уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены. Мак-Ки и Митчелл [1970] рассмотрели неявные схемы чередующихся направлений для задач со смешанными производными по координатам д~1./дхду. Келлог [1969] исследовал неявную схему метода чередующихся направлений для нелинейного уравнения диффузии с нелинейным граничным условием. Применение неявных схем метода чередующихся направлений для уравнения диффузии в случае переменного шага пространственной сетки и граничных условий общего вида рассмотрел Спеньер [1967]. Общее обсуждение метода проводится в работе Вид-лунда [1967]. Густафсон [1971] предложил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнений мелкой воды. Гурли и Митчелл [1969а] установили эквивалентность некоторых неявных схем метода чередующихся направлений и «локально одномерных» схем (см. также Митчелл [1969]). Ричарде [1970] использовал неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения переноса вихря в цилиндрической системе координат. См. также работы Пиачека [1968, 19696].
dt дх
тогда конечно-разностная схема Саульева будет выглядеть так:
/1 + 1 | ||
1 + 1/2 | г-1/2 | |
= а:-±д--i. (3.314)
или, если d = а At/Ах, то так:
С = С + (С+1-С-СГ +C-i) при/. (3.315)
Заметим, что если обход точек при расчете проводится в направлении роста t (на что указывает запись if в уравнении (3.315)), то значение $+} на рассчитываемом слое уже известно. Несмотря на то что эта схема является двухслойной, требуется только один массив для хранения неизвестной величины , поскольку в программе "+ и входящие в уравнение (3.315), можно идентифицировать одинаково. Так как уравнение (3.315) можно разрешить относительно данная схема будет явной.
Если на каждом шаге по времени направление обхода точек при расчете чередовать от увеличения i к уменьшению i, то такая явная схема метода чередующихся направлений будет близка к симметричной и может быть записана в виде
r=C + 4Ci-C-C+Ci) при ft. (3.316а)
c,=c+d(z:t-c-c+ci) npHfj. (3.3166)
При исследовании устойчивости уравнений (3.316) метод фон Неймана применяется на двух шагах. Для первого шага из уравнения (3.316а) получаем
V-+ = V+-]-d[VЧe"- 1) + Г+(е"- 1)1 (3.317) Сл= - + 1 (3.318)
3.1.17. Явные схемы метода чередующихся направлений
В основном из методических соображений рассмотрим теперь явные схемы метода чередующихся направлений (схемы ADE). Это целый класс схем, которые впервые были рассмотрены Саульевым [1957] (см. также Саульев [1964], Рихтмайер и Мортон [1967] и Карнахан с соавторами [1969 ). В применении к одномерному уравнению диффузии простейщая схема Саульева соответствует следующей однощаговой схеме. Для большей ясности запишем уравнение диффузии в виде
Для второго шага из уравнения (3.3166) получаем
r+=r+4-d[l/"+(e«- l) + l/"+(e-« 1)], (3.319) G, = lzA±Ji:l, (3.320)
Тогда для полной двухшаговой схемы будем иметь
Г+2 = (7д1/"+ = Сд(Сд1/"), (3.321)
l/"+2 = Gl/", (3.322)
G = СлСд. (3.323)
Учитывая, что е±9 == cos 9 ± / sin 9, из (3.323) находим
р 1 - + cos е - /d sin е 1 - d + cos e + /d sin e (г,г,пл\
" 1 + d - d COS e - /d sin e 1 + d - d COS e + /d sin e •
Используя для упрощения числителя и знаменателя тождество (а + lb) (а - lb) = + Ь, получаем
. [l-d(l-cose)] + d4in9 . -
~ [1 + d (1 - COS е)]2 + d sin е (i.cioj
что показывает безусловную устойчивость схемы. Доказательства безусловной устойчивости схемы (3.315) с одним направлением обхода точек можно найти у Саульева [1964].
Явная схема метода чередующихся направлений, примененная к уравнению диффузии, безусловно устойчива, как и неявная схема метода чередующихся направлений, имеет формальную ошибку аппроксимации E = 0{Afi,Ax) (см. Саульев [1964]) и аналогично обобщается на случай большего числа пространственных переменных, например
tunrzhd:ZLl±Kt± при /t, it. (3.326)
(О различных циклических перестановках направлений обходов точек при расчете см. Ларкин [1964].) Важное преимущество этой явной схемы по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений заключается в том, что здесь не требуется использовать неявный трехдиагональный алгоритм. Другие варианты явных схем метода чередующихся направлений предложили Саульев [1964], Ларкин [1964], Баракат
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199