Запорожец  Издания 

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

Здесь W2{xu хг] и, t2)dXidx2 определяет вероятность совместного выполнения двух неравенств: Xiiii)<iXi-{-dxi и Х2(2<

<.X2+dX2) .

Таким образом,

Wixi, Х2; tu U)dXidx2=P{xi.{ti)<.xi-\-dxi, л;2(2)<

<.X2+dX2}.

Двумерные функции распределения и плотности вероятности позволяют судить о вероятностных связях между значениями случайного процесса в два произвольно выбранных момента U и U. Для значительного числа встречающихся на практике задач это является достаточным. Если требуется более полное и детальное рассмотрение случайного процесса, то приходится использовать многомерные функции распределения и многомерные плотности вероятности (см., например, [1] и {3]).

Моментные функции и функции корреляции. Во многих случаях для характеристики случайных процессов можно использовать вместо плотности вероятности более простые моментные и корреляционные функции. Так же как и при рассмотрении случайных величин (см. § 1.3), применительно к случайным процессам различают начальные и центральные моменты.

Начальные моменты п-го порядка определяются соотношением

mmitifnQ-tHtn)), (1.25)

где *<(i) представляет собою t-ю реализацию случайного процесса V(t) в момент t=ti, а М{.} - знак усреднения величины, стоящей в скобках. Наряду с начальными моментами используют так же центральные моменты, которые можно записать в виде

= М {\\ it,) - mi {tt... II - m, (У]*п}, (1.26)

где rni(tt) =M{li (ti)} - среднее значение функции *(/) в момент t = ti. Наиболее часто используются следующие моментные функции [3]: первый начальный момент (математическое ожидание), соответствующий среднему значению a{t) случайного процесса (1=1)

т,{т}=М{т}= ]xw{x, t)dxa{t); (1.S7)

второй центральный момент, соответствующий дисперсии случайного процесса.

12Шт-М{[Ш~а{т= J lx~-a(t)Yw{x, t)dx=oHt);

(1.28) 15



начальный момент mn{iu ti), который называют функцией кова-рации K{tu случайного процесса [3]

K{tu h)=mn{tu и)=Щ1Ш{и)} =

ОО оо

= j j XiX2w{xu Х2, и, t2)dxidx2, (1.29)

и центральный момент Xii(i, 2), называемый функцией к!дрреля-ции В {и, г) случайного процесса

B(h, t2)=yin{tu 2)=M{[(i)-a(f,)]II(2)-a(f2)]} =

00 00

= 11 ix\-a{U)]{x2~a(t2)]w{xu X2\ h, t2)dxidx2. (1.30)

-00-00

Между Kitu 2) и B{ti, /2) существует следующая зависимость:

K{h, t2)-=B(tu t2)+a{t,)a{t2). (1.31)

При a(i) =a(2) =0 функция ковариации совпадает с функцией корреляции. Формула (1.30) соответствует случаю центрированного случайного процесса.

1.8. Стационарные случайные процессы

Среди случайных процессов особое место занимают стационарные случайные процессы, имеющие важное значение при рассмотрении большого числа задач. Случайный процесс называется строго стационарным, если функции распределения любого порядка для этого процесса инварианты относительно начала отсчета времени. Из этого определения, в частности, следует, что одномерные функции распределения стационарных процессов не зависят от времени, т. е. в любой момент имеют один и тот же вид.

При определенных условиях, математическая формулировка которых здесь не будет рассматриваться (см., например, [1]), стационарный случайный процесс может обладать эргодическими свойствами. Для эргодического случайного процесса результаты усреднения по времени совпадают с результатами усреднения по ансамблю. Это позволяет большую совокупность реализаций по ансамблю заменить на реализацию по времени и ограничиться одной реализацией, если выбранный интервал времени имеет достаточную длительность.

Обозначая среднее значение по времени через , можно написать

C=lim - f x(t)dt.

Т-со Т 5

Для рассматриваемого случая lim -

/П1©=1 = 1=Ит -lx{t)dt.

где I - среднее по ансамблю 16



При технических расчетах интервал усреднения Т берут конечным, но достаточно большим.

Функция корреляции В, определяемая соотношением (1.30), для ti = t и 2 = +т для центрированной относительно среднего значения функции [(/)-a{t)\

В[т]=М{[(0-а(0][(/+т)-а(0]}= f ] [x,-a{t)}

-У>-оо

X[x2--a(t+x)\w{xu Х2, %)dxidx2. (1.32)

Для стационарного случайного процесса функция корреляции не зависит от выбора моментов ti = t и <2+т. а зависит только от разности т = 2-Таким образом, функция корреляции является функцией не двух переменных, как й общем случае, а только одной переменной т.

Так как дисперсия D = M.b,{t)-a( t)f}, то, как видно из (1.32), при т=0 дисперсия равна функции коррел5!ЦИи.

1.9. Квазидетерминированные процессы и случайные процессы

Приведенное в настоящей главе описание случайных процессов может быть использовано не только для помех, но и для сигналов в случае, когда параметры сигналов меняются случайным образом на интервале наблюдения.

В то же время при рассмотрении многих радиотехнических задач возможно ограничиться менее общими предположениями о характере сигнала и принять, что модель сигнала имеет вид s(, /), где S - детерминированная функция времени t и некоторой векторной случайной величины =(i, gz, ?m), т\. Такие сигналы можно назвать квазидетерминированными.

Удобная для применений модель квазидетерминированного сигнала может быть описана формулой

s=s(/l, со, ф, t)=Acos{(ut+)

со случайными амплитудой А, частотой о) и фазой ф.

Для квазидетерминированного сигнала можно считать, что его параметры являются неизменными в пределах данного интервала наблюдения, а при переходе от одного интервала наблюдения к другому они изменяются по случайному закону. В частном случае квазидетерминированная модель сигнала может перейти в модель детерминированного сигнала, являющегося неслучайной функцией времени s{t). Так, например, детерминированный сигнал с амплитудной модуляцией можно представить в виде

s(t) =Л (Осо8(соо+фо),

где coo = const и фо = соп81, а A(t) - неслучайная (детерминированная) функция времени.



0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95