 |
 |
 |
 |
•ных значений Y= (У,, .... где Тп={Уп.р+и .... Уп), при аль-
тернативе Hi
Pi(Y/Yo, т), е, [/)=n-<"+»>w-P)e-(»+)<-»)exp[-e-jYi-
-Н,1,-[/(Я-Ач)Р-е- Е Y„-H„i]P].
(7.50)
где n=l, .... m+l - номер наблюдаемой выборки; Yo=(Yoi, ...
Yo,m+i); Yo,n= (f/n,i, Уп.р); матрицы Н„ и A определяются аналогично (7.35). Дифференцируя показатель экспоненты (7.50) по параметрам г\* и U*, можно получать систему уравнений для оценок МП I] и и неизвестных параметров при альтернативе Hi:
(Hi-f/A)* (Hi-f>A)-b2*H;H„
= (н/- UA)* (Yi- D ц + "s н; Y„ ,
{к - АЙ* - Ач) t/ = (Я - Ал)* (Yi - Hi ч)-
(7.51)
Для случая т независимых обучающих выборок помехи РП ОМП имеет критическую область
2 Yn-Н„чр п=1
m+I n=2
(7.52)
где 1] - оценка МП неизвестных параметров помехи при гипотезе
Но;ц, О - оценки МП неизвестных параметров помехи и сигнала
при альтернативе Hi. Оценки ц и О могут быть получены из соотношений, аналогичных (7.48) и (7.49), где
2 н;н„
г.* Hi
L-A*Hi
i-m+l
2 h:y„
>,*Yi l-A*Yi
- H*t A"
~A*% a*AJ
Для т обучающих выборок РП ОМП можно аналогично § 7.4 и (7.44) представить в виде
W m+l
S 2 lbnP
fe=p+l n=l
/V m + l 2 2
2 2 iZftnP
fc=p+l n=l
(7.53>
где JCftti, Zfen, Pfe и /(/) определяются аналогично (7.44).
Наличие дополнительных помеховых выборок (каналов) позволяет повысить эффективность обнаружения сигнала за счет более качественной оценки неизвестных параметров помехи. Структурная схема РП (7.53) аналогична представленной на рис. 7.1.
7.7. Оптимальное обнаружение квазидетерминированого сигнала на фоне авторегрессионвых гауссовских помех с использованием безусловной функции правдоподобия
При больших значениях р порядка модели авторегрессии, на-пример при где N - объем выборки, эффективность РП
ОМП, основанных на условной функции правдоподобия, может существенно снижаться. Рассмотрим задачу обнаружения квазидетерминированного сигнала, заданного вектором а размерности N, на фоне случайных авторегрессионных гауссовских помех с использованием безусловной функции правдоподобия. Полагаем, что имеется т дополнительных обучающих выборок помехи, по статистическим свойствам аналогичных основной выборке. Пусть U - неизвестная комплексная амплитуда полезного сигнала. Проверяется гипотеза Яо: U=0 об отсутствии сигнала в основной выборке \i = {yn,..., ут) против альтернативы Я,: о присутствии
сигнала. Для решения этой задачи воспользуемся критерием отношения максимумов безусловных правдоподобий.
В присутствии полезного сигнала S=f/a безусловная плотность распределения наблюдаемых выборочных значений Y= (Yj,... ..., Ym+i), где Y„= {ут,..., yNn),
Pi (Y , 8, U) = n-C+l) e-(m+l)A? Am+l
xexp
- - (Yi - Uar A (Y, - t/a) - y; AY„
(7.54)
где A=A()c) - матрица размером NxN, обратная корреляционной матрице помехи; х= (Хь Хр) - вектор размерностью р неизвестных комплексных параметров помехи; е - неизвестная интенсивность помехи.
в отсутствие сигнала плотность распределения наблюдаемых выборочных значений
Ро е) = n-(«+>Jv e-+Jv Am+i
xexp
После дифференцирования (7.55) по параметру е имеем
sup /о(х, е/У)= л-с+пл?
Дт+1 g(m+l)W
га+1
2 y;ay„
(m+l)W
(7.56)
Для отыскания экстремума функции правдоподобия sup lo {%, e/Y) необходимо максимизировать по х либо (7.56), либо
<Х, 8)еи„
функцию
[sup Zo (/. e/Y)]>/(»+)A = (л е)- . (7.57)
• 1 """ .
Как видно из (7.57), при Noo числитель (7.57) [А!»/-!. Поэтому при достаточно больших N (обычно при Л>50) можно пренебречь влиянием определителя А и плотности распределения (7.54) и (7.55), а также соответствующие им функции правдоподобия аппроксимировать в виде
h (/. е, f Y) = л-(«+1)л? е-(т+1)л?
I 1 т+1
X ехр - (Yi - Ua)* А (Y - f/a) - -i- 2 Y; AY„ , (7.58)
где <Yi - f7a)* A (Yi - t/a) = и* F и = = /ii+5C*F2i + Fi,5c-l-/*F,,5j; и=(1.Х)- F=D-f/*E-f/E*-f \U\C,
л?-( /+1 \ m+l
C = (cu)=i 2 a! a,-+J . 2 y;AY„ = x*Gx,
\ k=0 J „=2
G= 2 G„,G„ = (g(«)) =
,yv-.-/+l x
= Д i/;+fe.„ j , /, / = 1, ... ,p + 1;
(i "+1 \
- - 2 Y;AY„ . (7.59) e «=1 /
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95