 |
 |
 |
 |
а п опорных выборок соответствует повышению мощности теста.
Введем для удобства ранг ri = Ri-1. Эта замена не имеет принципиального значения, но при реализации обнаружителя (аппаратурном вычислении г) и аналитических выкладках удобнее пользоваться величиной
(8.32)
Модифицированный способ ранжирования проиллюстрируем алгоритмом рангового многоканального радиолокационного обнаружения. Схема алгоритма включает вычислитель рангов (BP), вычислитель ранговой статистики (ВРС) и решающую схему - пороговое устройство (ПУ) (рис. 8.2). Сигнал (m-i-l)-ro канала /-Г0 периода наблюдения с выхода детектора (Д) огибающей сравнивается в схеме сравнения (СС) с сигналами на выходе устройства запоминания опорной выборки (УЗОВ) уц, уц, соседних (предыдущих) т независимых каналов. Результат сравнения Xi с yij - величина hij, равная нулю или единице. Число единиц на выходах СС определяет ранг г, отсчета Xi. Счетчик инверсий выражает ранг двоичным числом. Это число вводится в (т+1)-ю ячейку запоминающего устройства (ЗУ), где записаны значения рангов предыдущих периодов наблюдения, соответствующие (т-Ь1)-му каналу. По всем накопленным за п наблюдений значениям рангов вычисляется статистика S(г).
Применение линии задержки в качестве УЗОВ позволяет осуществить скользящую обработку - вычисление рангов для всех элементов (каналов) разрешения последовательно, так как чере?
интервал дискретизации At вели-- чина Хг займет место в опорной выборке и вычисление ранга будет уже производиться для (m-i-2)-ro канала, и т. д. для всех каналов. Таким образом, по истечении п наблюдений задача обнаружения будет решена для всех каналов.
В обнаружителе используется специфика, состоящая в том, что число элементов разрешения (каналов) по дальности (скорости, угловым координатам), в которых сигнал отсутствует, много больше числа элементов разрешения, где сигнал есть. Эта «асимметрия» каналов позволяет считать, вообще говоря, опорные
УЗОВ
у, n-l .
ВРС г-! I I I I 111-1
\2\ I I \т<-1\ I Р
ЗУ 1 1
i Решете
Рис. 8.2. Структурная схема рангово.-о многоканального обнаружителя
каналы .«пустыми», т. е. «занятыми» только помехой, и на основании этого предположения формировать помеховую выборку. Если среди помеховых отсчетов есть сигнальный, то это приводит к искажению статистики S для т последующих каналов, т. е. имеет место подавление одного сигнала другим. Искажение, затрудняющее обнаружение следующего сигнала, составляет для статистики, основанной на сумме рангов, при сигналах одинаковой интенсивности и т = 20; 30 несколько процентов, и, следовательно, им можно пренебречь. Можно и учесть это искажение, введя в статистику (или порог) после того, как произошло обнаружение, соответствующую коррекцию для т последующих элементов разрешения, т. е. на время, пока обнаруженный сигнал находится в линии задержки и выполняет роль помехового.
Схема обнаружителя не изменится, если в качестве независимых каналов использовать не каналы дальности (временное разрешение), а скоростные доплеровские каналы (разрешение по частоте). В лазерных системах связи и локации, учитывая возможности получения очень узких лучей, для формирования опорной выборки можно использовать также и пространственные каналы (угловое разрешение). Возможно применение этого алгоритма и в гидролокационных системах, связных системах, работающих с большой скважностью или использующих соседние по частоте каналы в качестве помеховых.
Распределение рангов при гипотезах выражается через ФР помехи G(x) и смеси сигнала с помехой F{x), как
Р(г\Н,) = jJGx) [1 -G {x)f~dFix), (8.33)
C-l о) = ( 7 ) jG) [1 - G {хГ~ dGix) = -i-j-. (8.34)
Соотношение (8.33) можно получить исходя из следующих соображений. Вероятность того, что из m независимых отсчетов г окажутся меньшими некоторого фиксированного х, а остальные
т~г большими X, равна [ ] G{x)[l-G{x)y-r. Для случайного значения х вероятность такого события определяется усреднением этого выражения по распределению х, т. е. с весом f{x)dx=dF{x), что и приводит к (8.33). Выражение (8.34) есть частный случай (8.33), когда F{x) = G(x). Интегрирование проводится по области определения х. Интеграл в (8.34) является интегралом Эйлера первого рода. Выражая его через гамма-функции [48], легко получить равенство (8.34), которое показывает, что распределение ранга при гипотезе Яо равномерное, т. е- не зависит от ФР помехи G(x). Следовательно, и распределение статистики S{r) от свойств помехи не зависит, что и обусловливает непараметричность теста.
Характеристики качества обнаружения зависят от ФР G{x) и F{x), поскольку этими функциями определяется распределение
ранга при альтернативе (8.33), а значит и статистики S{rJ. Качество обнаружения зависит также и от видачтатистики, определяющей тип обнаружителя. /
8.4. Оптимальный ранговый обнаружитель
Оптимальное ранговое правило согласно критерию Неймана - Пирсона основано на вычисдении отношения правдоподобия (ОП) вектора ранговой выборки г= (п, Гг.....г„)
л<>-7Й-П-(".+.ГПР(г,1Н.), (8.35)
где Р(г\Но), Р(гЯ,) и Р(ГгЯо), Р(ГгЯ1) - вероятности вектора г и значения ранга при соответствующих гипотезах. В (8.35) принято во внимание равновероятное распределение ранга согласно (8.34).
Алгоритм обнаружения запишем через логарифм ОП
п /Я,
S= -YlogP(ri\H С , (8.36)
где постоянное слагаемое nlog(m-M) входит в С, а знак минус введен для того, чтобы статистика была положительна.
Порог обнаружения С находится по заданной вероятности щ ложного обнаружения через распределение статистики при гипотезе Р(5Яо) как корень уравнения
а1=1-Р(5<СЯо) = 2 Р(5Яо), (8.37)
s=c+\
где Smax - максимальное значение статистики.
Отношение правдоподобия (или его логарифм) можно найти по ФР G(x) и F{x) с использованием соотношений (8.33), (8.34), т. е. применение статистики ОП предполагает известными распределения G{x) и F(x). Ранговая обработка целесообразна как средство борьбы с априорной неопределенностью, когда характеристики помехи и смеси сигнала с помехой неизвестны. Тем не менее применение обнаружителя, основанного на статистике ОП, имеет смысл.
Пусть алгоритм (8.36) рассчитан на вполне определенные типовые распределения G{x) и F{x), которые наиболее вероятны в практической ситуации. Так, для некогерентного обнаружения наиболее частой являются рэлеевская помеха и райсовская смесь сигнала с помехой. Предположим, что сигнал отсутствует (справедлива гипотеза Яо), а действующее распределение помехи отлично от расчетного. В этом случае появление различных значе-йий рангов также равновероятно, т. е. случайная величина г распределена равновероятно независимо от распределения G{x). Иными словами, редукция выборочного пространства X в ранговое
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95