Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

.92 соответствует переходу от сложной гипотезы к простой. Равновероятное распределение рангов приводит к тому, что при гипотезе о в сомножителе P(ri\Hi) выражения (8.36) при любой G{x) будут фигурировать одни и те же (в статистическом смысле) значения рангов и, следовательно, результат вычисления S по (8.36) не изменится. В то же время порог С найден из распределения статистики P{S\Ho), которое выражается через расчетные G{x) и F{x)- Поскольку результаты опыта (значения рангов) не зависят от помехи, а вычисление S основано на использовании тех же G(x) и F{x), вероятность ложного обнаружения а окажется равной расчетной. Таким образом, обнаружитель (8.36) обладает свойством непараметричности.

Отклонение ФР G{x) и F(x) от расчетных приводит только к отклонению вероятности правильного обнаружения D от расчетной. Но изменение D для ранговых ОП обнаружителей происходит в меньшей степени, чем для обычного параметрического [42, 47], т. е. РО более устойчивы по своим характеристикам. Таким образом, с 5Д1етом свойств непараметричности, устойчивости и сравнительно высокой эффективности синтез ОП РО имеет вполне определенный практический смысл.

Синтез обнаружителя разбивается на два этапа. На первом находится выражение для ОП по распределениям G{x) и F{x), на втором - распределение статистики ОП P(S\Ho) и значение порога обнаружения С по заданной оь Для анализа обнаружителя необходимо найти распределение статистики при альтернативе P(S\Hi) и по этому распределению и порогу С рассчитать вероятность обнаружения D из соотношения

D= Р{8\Н). (8.38)

S=C+l

Рассмотрим задачу синтеза оптимального некогерентного РО. Полагаем, что распределение помехи рэлеевское (нормальное до детектирования) с плотностью

£г;(л;) = 1 = ;сехр(-ад, x>0, (8.39) dx

распределение смеси сигнала с помехой райсовское (нефлуктуи-рующий сигнал) с плотностью

f(x)-xexp{-)lAxV2-g), х>0, (8.40)

распределение смеси быстрофлуктуирующего (от наблюдения к наблюдению) сигнала с помехой рэлеевское с плотностью

хО (8.41)

f{x)-exp 1 + 9

2(1+9) J либо с плотностью вида 4х

/() =

(2 + 9)2

1 + -]ехр(--],х>0, (8.42)

2(9 + 2) \2 + д)-



где X - нормированная к среднеквадратическому значению нормальной помехи огибающая; q = u/2fl - отношение сигнал-помеха; и - амплитуда сигнала; /о()-модифицированная функция Бесселя. /

Формулы (8.39)-(8.42) описывают распределения огибающей процесса, т. е. напряжения на въщЬде линейного детектора

Для этих моделей удается полз-чить выражения для ОП в явном виде. Определяя P(r\Hi) из соотношения (8.34) с учетом распределений (8.39) - (8.41), получаем [71] для нефлуктуирую-щего сигнала

P(r ,) = exp(-9)("U(-l)x

\ / 1=0

f М-1-ехр(--

\i)m-r-\-i+l \m-r+i +

И для флуктуирующего

Р{г\Нг) = -и{1-+ 1=0 \

)•

(8.43)

(8.44)

"1+1 ,"о\ т - г + { + ц где- число сочетаний из b по с, ix=l/{l + q). Аналогично можно получить выражение для модели (8.42)

р(гя,) = 4("\1:(-1)(М-

\ / .-=0 V I У [2

r+i+l

(8.45)

>+(2 + q)(m~r + i)]

Из (8.35) с учетом полученных выражений для ОП имеем соответственно

А (г) = (т-Ы)" ехр (- 9п) П ( ) 2 (- 1)X

[m-rj+i+l]

rj \ i

n г}

Л(г) = П in

j=l i=0 V

А(г) = (т+1)"П4(")2(-1)(:)

m + n + i+\ 1

m-rj + -\-i 1

(8.46) (8.47)

m-rH-«+ 1

t2+(2--<7)(m-O--0]

(8.48)

Перейдем ко второму этапу синтеза - нахождению порога обнаружения С. Часто задачу определения порога С по заданной вероятности ai решают с использованием нормальной аппроксимации распределения статистики S при достаточно большом п. Однако использование аппроксимации P{S\Ho) приводит к су-

В литературе распределения (8.40) - (8.42) иногда называют соответственно О, 2 и 4-й моделями Сверлиига.



псственным ошибкам для малых d (Ю ... 10"), которые обыч-ии имеют место на практике. Это связано с неудовлетворительном качеством аппроксимации на «хвостах» истинного (к тому 1.1 усеченного при ранговой статистике) распределения P{S\Ho) нормальным.

Функцию распределения статистики (8.36) определим отноше-irrieM

Р(5<СЯ„) = !1Ь.

1ле Лт,п(С)-количество векторов г= (п, гг, Гп), для которых справедливо неравенство SC; /V= (т--1)" - общее количество возможных векторов.

Введем обозначение - logP(r=/li) /е[0, т]. Для ФР (i(x) и F{x) величины 6; находятся из соотношения (8.33). Составим из значений bi вариационный ряд, расположив их в порядке возрастания

Ь(о)<Ь(1)< ... <Ь(ю< ... <;Ь(т)-

Зафиксируем С и найдем такое значение k{0, т-1], для которого nb{k)c, nb{k+l)>C.

Очевидце, ЧТ& CGlSmin, Smax), ГДе SmrrtJ?(D}, 8т.ах=пЬ{т) -

минимальное н максимальное значения статистики, [•) - полуинтервал.

Тогда, как показано в [62],

iV„. „ (О = ( + 1)" + Ц Hi") Nu+u „-. (С -,=0 i=i /

(8.49)

В этом рекуррентном соотношении Nm.n{C) выражается через fu.v{Cu,v), где t/<m, D<n.

Для распределения статистики из (8.49) окончательно имеем

X " 2 S ( " ) Nk+i, n-l (С - ihu+x+n).

При вычислениях по мере изменения / и i возможны следующие три случая в определении Nh+j,n-i{C-ibh+i+j) ).

1. Если для некоторых i и / оказывается, что

С-tb(fe+i+j)<0, то Nk+i,n-i{C-ibk+i+3))=0.

Очевидно, это имеет место преимущественно при больших t и /.

2. Если

С-(п-l)b(ft+3), то Nk+i,n-i{C-lb(k+i+})) = = (-Ы-}-/)"-.

Это имеет место преимущественно при малых i и /.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95