 |
 |
 |
 |
Аналогично *(8.86) получаем условные вероятности m - ka
Р{Аг\А)
РША)
а-1
a(k+ l)-m- 1 а-1
(8.87)
(8.88)
Поскольку в испытуемом канале импульс помехи отсутствует (событие А), то из-за регулярности потока с достоверностью следует, что и в каналах опорной выборки, отстоящих от испытуемого на величину, кратную с, помеховые импульсы также отсутствуют. Следовательно, вероятность появления помехового импульса в каком-либо из остальных опорных каналов равна 1/(а-1). Число таких каналов (где могут быть импульсы помехи) для сл}ая А равно т-ka, а для случая Л2 соответственно а-(от-а+1). Отсюда следуют формулы (8.87) и (8.88).
Подставляя полученные выражения для безусловных и условных вероятностей (8.83) - (8.88) в (8.82), окончательно получаем
Р(г) =
m - ka , a(fe+l) -(m+l)
m - k
m -fe + 1 1 a{k+l)-(m+\)
fe+1
U(fe+i)
r<.m~k.
r = m~k.
r>m~k.
(8.89)
Из (8.89) следует, что для c>/n {к=Щ P(r) = 1/(от--1). Следовательно, наличие регулярного потока с периодом, превышающим длительность опорной выборки, не нарушает непараметричность РО. При сот непараметричность в общем случае не сохраняется, хотя для тех случаев, когда т--1 кратно а, она по-прежнему имеет место. При от=1, когда д, РО переходит в знаковый из (8.89) имеем Р(г=0,1)=Р(/г = 0,1) = 1/2 для любых значений с. Следовательно, непараметричность 30 сохраняется и при наличии РИП.
Нарушение непараметричности РО т при ат приводит к изменению вероятности а. Найдем это изменение Аа для обычно рекомендуемого значения т = 20. При значениях с=1, 3, 7, для которых о т+1 = 21 является кратным, непараметричность не нарушается и Да=0. Другим значениям соответствуют неравновероятные значения рангов. На рис. 8.19 о,о
0,08
Рис. 8.19. Примеры распределений рангов при воздействии РИП
Ю 12 /4 а 18 г
2 It 6 В 10 12 П Г6 18 Р
приведены наиболее характерные распределения Р(Г), рассчитанные в соответствии с (8.89). Из рис. 8.19 видно, что имеют место наиболее вероятные значения г и наименее вероятные.
Рассмотрим статистику (8.52), основанную на сумме рангов. Для установки порога обнаружения С по заданной вероятности Cl используем нормальную аппроксимацию распределения P(S\H), т. е. С определим как корень уравнения
о(5Яо) J
где M(S\Ho) и о(5Яо) определяются соотношениями (8.56) для равномерного распределения рангов. Реализуемую вероятность а при наличии РИП и установленном пороге С также определим с использованием нормальной аппроксимации как
=- 1 - ф
а- 1-Ф
C-M{S\Ho)
а (5Яо)
где M(S\Ho) и а(8\Но) - параметры распределения статистики для неравномерного распределения рангов. Использование этих приближений оправдано тем, что важно знать лишь приращение Aa==ai-а, а не точные значения а а С.
Результаты расчета распределения рангов по (8.89) для различных с позволяют определить М{8\Но)=пМ{г\Но) и o(S \Но) = \по(г\Но). Наличие помехи не изменяет математическое ожидание ранга, а значит, и статистики и изменяет дисперсию. Дисперсия ранга о(гЯо) не превышает своего значения при равновероятном распределении ранга о(г1Яо), которое достигается при с=1, 3, 7. Это значит, что появление РИП не увеличивает вероятность ложного обнаружения.
Для с=1, 3, 7 вероятность не изменяется Да==0, а для с=2 изменение наибольшее, так как при этом дисперсия а(гЯо) минимальна. Величина Аа для худшего случая (а=2) при п==20, ai = 10-, 10-, 10-6 равна соответственно 4, 21, 36%, что составляет 4, 7, 6% от порядка сь Усредненная по различным значениям ат величина Аоср составляет 8,4%, что соответствует 1,4% от порядка щ. При других значениях п (например, 10, 30) величина приращения Да сохраняет тот же порядок.
Таким образом, в условиях воздействия регулярного потока несинхронных импульсных помех непараметричность 30 не нарушается. Непараметричность РО сохраняется при а>т. Условие а>т является наиболее характерным для практики. При ат непараметричность нарушается, что приводит к незначительному уменьшению вероятности а. Если снять ограничивающее предположение (8.81), то распределение ранга в большой степени приближается к равномерному и изменение вероятности ложного обнаружения меньше.
Следовательно, с практической точки зрения можно считать РО в условиях воздействия несинхронного регулярного потока импульсных помех квазипараметрическим. 202
Для бинарного РО в условиях помех оценка вероятности
«= ipis\Ho),
где порог Сч установлен по (8.67) в соответствии с заданной ai, а распределение Р{8\Но) определяется по (8.65). Параметр ро в этом случае рассчитывается через распределение ранга (8.89) при РИП как
Ро-Р(г>С,1Яо, РИП)= S Р(г1Яв, РИП).
8.9. Об устойчивости ранговых обнаружителей
Анализ качества непараметрических тестов показывает, что некоторые из них, например ранговые, незначительно уступают по эффективности оптимальному классическому. В то же время при изменении ФР помехи ранговые алгоритмы могут оказаться значительно эффективнее классического (оптимально-IO только для нормальной помехи), по крайней мере, асимптотически [41]. Возникает вопрос об устойчивости характеристик качества непараметрических тестов различения гипотез при изменении вида помехи для выборок конечного объема. Данные об эффективности непараметрическик алгоритмов при распределениях помехи, отличных от нормального, для конечного фиксироваяного чи-cj-a наблюдений в литературе отсутствуют, за исключением небольшого числа работ, например [42]. Ниже приводятся результаты исследований характеристик РО Неймана - Пирсона при стационарных помехах с различными распределениями, полученные в [42].
Примем за количественную меру устойчивости характеристик обнаружителей максимальное прирашение вероятности обнаружения (8.28) или соответст-взющее ему приращение порогового отношения сигнал-помеха. Будем рассматривать функции распределения помех G{x) одинаковой мощности. Положим мощность помехи равной единице При анализе на устойчивость некогерентных обнаружителей, использующих информацию только об огибающей процесса, удобней задаваться распределениями огибающей помехи х, а не ее мгновенного значения . Связь между одномерными плотностями распределений узкополосного стационарного случайного процесса 1F() и его огибающей w(x) дается выражением [3]
W (1) - 1 w(mchz)dz.
Мощность помехи, т. е. второй начальный момент распределения
00 J оо оо
1 2W(l)rfg=- i w(\l\chz)dzdt.
-оо -оо о
Меняя порядок интегрирования и учитывая четность подынтегральной функции, получаем
(I) =-М (X) ] dz = Ms {х)/2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95