 |
 |
 |
 |
Если среднее значение а=0, то g(0=«7. где o=D - дисперсия. Для флуктуационного процесса при а=0
5(0)=1Ч0=<7- (2.13)
Величина a=D соответствует квадрату среднеквадратического значения, т. е. мощности флуктуационных помех. При афО
о = Ш{1ЦЩ-а. (2.14)
2.8. Спектральная плотность флуктуационных помех
Наряду с функцией корреляции для описания случайных процессов широко используется также спектральная плотность g(f), которая характеризует распределение мощности (энергии) помехи или сигнала по частоте. Иногда вместо спектральной плотности используют термин «энергетический спектр».
Корреляционная функция центрированного флуктуационного процесса ц(0=1(0-"i и спектральная плотность g(f) связаны между собой парой преобразований Фурье [3]:
g{f)= jB(x)exp{-}2nfx)dr. (2.15)
В(г)= ] g{f)exp{j2nfx)df. (2.16)
Для случая, когда т=0, вместо (2.16) получим
В(0)= ]g{f)df. (2.17)
- оо
Входящая в подынтегральное выражение величина g{f)df соответствует той доле энергии флуктуации, которая содержится в интервале частот df. Формула (2.17) показывает, что полная энергия флуктуационного процесса равна площади, ограниченной кривой спектральной плотности g{f). Можно показать [3], что спектральная плотность g{f) флуктуационного случайного процесса, а следовательно, и флуктуационных помех характеризуется следующими свойствами:
1. Спектральная плотность флуктуационного процесса неотрицательна, т. е. gif)0.
2. Спектральная плотность g(f) всегда представляет собой вещественную функцию, причем для вещественного процесса она является четной функцией частоты. Поэтому вместо (2.15) и (2.16) можно написать
g{f)== J В (т) cos 2фй-1=2 f В (т) cos 2nfxdr. (2.18)
-00 в
5(т)= ] gif)COS 2nfrdf=2] g{f)cos 2nhdf. (2.19)
-00 0
3. Спектральная плотность g{f), а также корреляционная функция Б(т) обладают всеми свойствами, которые характеризуют пару взаимных преобразований Фурье. В частности, чем шире спектр g{f), тем уже корреляционная функция В(т) и наоборот.
Рассмотрим пример на применение полученных соотношений. Пусть функция корреляции соответствует закону Гаусса:
Б(т)=Б(0)ехр(-pV).
Тогда на основании (2.18) и таблицы интегралов [17]
g(/) = 2 J В (0)ехр i-pH)cos о)т/= (Уф) В (0) X о
Хехр(-(uV4p2),
(/)/(0)=ехр(-о)2/4р2). (2.20)
где (0) = (Кя/р)В(О).
Из равенства (2.20) видно, что спектральная плотность здесь также соответствует закону Гаусса. Это равенство определяет зависимость приведенной спектральной плотности g{f)lgiG) от параметра р. С увеличением р спектр становится все более равномерным. При р->схз отношение g(!)\lg {0)-1, т. е. спектральная плотность оказывается не зависящей от частоты. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 2.1, на котором дана зависимость g{f)lg{0) от / при различных значениях р.
Флуктуационные помехи являются стационарным случайным процессом, имеющим гауссовское распределение. При одномерном распределении плотность вероятности
и1(д:) = (l/l/W)exp{-(x-a) W}. (2.21)
где а=х.
При двумерном распределении (и = 2) X,, .)= yrzr) X
Здесь коэффициент корреляции р(т) =Б(т)/а; а=0(т)=а(2-i). В случае, когда спектр помехи очень широкий, р(т)«0, что соответствует некоррелированному случайному процессу, вместо (2.22) получим (1.16).
Для п-мерной некоррелированной гауссовской флуктуационной помехи
wAx,,..., x„)= П . l -exp{-(x,-a)W}. (2.23)
IHC. 2.1. Зависимость приведенной спектральной д(хУ плотности от частоты; Р1>Р2>Рз д(0)
Гаким образом, в (2.23) л-мерная плотность вероятности представляет собою произведение п одномерных плотностей нероятности. Описание реального случайного процесса, например, такого, как помехи, будет тем более точным, чем больше величина п многомерного процесса. При технических расчетах, при которых выбирается гаус совская модель, во многих случаях можно ограничиться двумерной или даже одномерной моделью.
2.9. Белый шум
Флуктуационные помехи, для которых в широкой полосе частот спектральная плотность постоянна, по аналогии с белым светом называют белым шумом. При теоретическом рассмотрении вопросов обнаружения в качестве наиболее распространенной модели реальных помех используется белый шум, который характеризуется следующими основными свойствами: отсутствием последействия, т. е. марковостью процесса; равенством нулю функции корреляции В(т) при всех ненулевых значениях т (при т=70 В(т)=0), что означает некоррелированность белого шума; гауссовским (нормальным) характером законов распределения.
Спектральная плотность (энергетический спектр) белого шума g(f) не ограничена по частоте и имеет постоянную величину
(/)=Ло. (2.24)
где Ло - мощность шума в пределах единичной полосы в 1 Гц.
Неограниченность спектра белого шума является некоторой идеализацией, неосуществимой в реальных условиях, так как при этом мощность шумов была бы бесконечно велика. Белый шум можно представить себе как последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом через случайные промежутки времени и имеющих случайную величину выброса.
Реальные шумовые импульсы не могут быть бесконечно короткими, а следовательно, и спектр не может быть безгранично широким. Обычно считают, что реальный белый шум ограничен сверху частотами 10... 10 Гц. Если учесть, что он имеет ограниченный спектр, то его мощность в пределах полосы этого спектра конечна.
Шумовые процессы с характеристиками белого шума не могут быть реализованы в реальных системах. Однако при прохождении помех, обладающих широкой полосой, через узкополосный радиоприемный тракт во многих случаях допустимо рассмат-
0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95