 |
 |
 |
 |
XXII. Уравнения движения энергии в телах*
Николай Умов
I. Общее выражение закона сохранения энергии в элементе объема среды
§ 1. Определения и задача исследования. Элемент объема, произвольно взятый внутри какой-нибудь среды, частицы коей находятся в движении, заключает в данный момент времени определенное количество энергии. Эта энергия слагается из двух частей: из живой силы движения частиц элемента объема и потенциальной энергии, т. е. работы, которая может быть отдана этими частицами при возвращении их из данно! в положения в некоторое начальное, соответствующее устойчивому равновесию. Поя энергией элемента я буду разуметь сумму живых сил частиц элемента и его потенциальной энергии, определенной, как было сказано выше.
Законы перехода энергии с одного элемента среды на другой определялись до сих пор только для частных форм движений. Задача настоящего труда заключается в установлении на общих началах учения о движении энергии в средах.
Раскрытие общей связи между распределением и движением энергии в средах и перемещениями их частиц, независимо от частных форм движений, должно дать возможность из известных законов движения и распределения энергии в теле выводить заключения о роде движений его частиц. Задачи подобного рода имеют важность ввиду стремления совре--менной физики сводить все явления природы на явления движения.
Простейшие опытные данные, на которые могли бы опереться теоретические изыскания современной физики, идущие в указанном направлении, представляют распределения и движения энергии в различных явлениях природы. Орудия опытного исследования не настолько, однако, усовершенствованы, чтобы давать возможность определять законы каждой из составных частей энергии в отдельности. Поэтому важно отыскать метод, который давал бы возможность перейти от определенных путем опыта законов движения энергии к диференциальным уравнениям движения частиц тела, которое по предположению дает место наблюдаемому явлению.
§ 2. Уравнение сохранения энергии в элементе тела. Представим себе однородную среду с определенными границами конечными или бесконечно
{Отд. изд., Одесса, 1874 г.; прибавление-Москва, 1874 г.
В статье Н. Умова рассматривается преимущественно движение энергии в твердых телах, в сжимаемой, несжимаемой и вязкой жидкостях. Мы помещаем отрывок из этой статьи потому, что здесь, задолго до Пойнтинга, развивается идея о потоке локализованной в пространстве энергии }.
большими. Пусть на частицы этой среды не действуют внешние силы, и прилив энергии к частицам обусловливается принятием или отдачею энергии средою через ее границы.
Если мы выделим мысленно элемент объема, изменение его энергии (т. е. суммы его живой силы и потенциальной энергии), по закону сохранения энергии, может совершиться только на счет прибыли или убыли последней в смежных элементах. Математическое выражение связи приращения количества энергии в элементе объема с ее потерями в смежных элементах и будет математическим выражением элементарного закона сохранения энергии в средах.
Математическое выражение указанной связи может быть на.ми почерпнуто из явления иного рода, опирающегося на закон, аналогичный закону сохранения энергии. Распределение вещества при движениях непрерывной сжимаемой среды подчиняется закону сохранения вещества. Насколько движение энергии и движение сжимаемого вещества обусловливаются законо.м их сохранения, настолько мы имеем право уподоблять движение энергии движению подвижного и сжимаемого вещества.
Количество энергии в элементе объема среды, отнесенное к единице объема, может быть названо плотностью энергии в данной точке среды.
Мы можем следить за изменениями, происходящими в количестве энергии и ее скоростях, в одной и той же точке пространства или же в одном и том же движущемся количестве (массе) энергии.
Означим буквой Э плотность энергии в произвольной точке среды, т. е. частное из количества энергии, заключенного внутри бесконечно малого элемента объема на этот элемент. Назовем через lAy, h слагающие по прямоугольным осям координат х, у и Z скорости, с которою энергия движется в рассматриваемой точке среды.
Вообразим себе элемент объема dxdydz. При введенных нами обозначениях количества энергии, входящие и выходящие через различные стороны элемента, будут; через сторону
dydz:9ldydz
dxdz: Slydxdz
dydz:9l,dydx
> и ей параллельную
-(m+-ldx)dydz
-(3l, + dyyxdz (1)
Сумма этих величин, представляющих токи энергии, дает нам отнесенное к единице времени изменение количества энергии Sdxdydz в элементе объема с временем t. Следовательно, делая сокращения:
d9 at
dSlp dSh
Здесь ~ есть частная производная Э по времени. Выражение (1), аналогичное с выражением закона сохранения вещества в гидродинамике, есть выражение элементарного закона сохранения энергии в телах.
Означая через полную производную от Э по времени, мы находим следующее выражение для изменения плотности энергии с временем в од-
НОЙ И той же движущейся массе энергии:
09 d9 ds аэ аэ ,
Соединяя выражение (2) с (I), находим:
Э dt - dx + dy dz )
Аналогия между диференциальными законами движения энергии и движения вещества вообще не простирается далее сходства уравнений (I) и (I bis) с соответственными уравнениями гидродинамики.
Выражение (I) открывает связь между количеством энергии, отнесенным к единице времени, втекающим в среду через ее границы, и изменением количества энергии в среде. Мы находим:
\§dxdydz+\9l,,dc = 0. (3)
где тройной интеграл распространяется на весь объем среды, da представляет элемент ее границы и есть скорость движения энергии по внешней нормали п к элементу границы, т. е.
In = /j. cos пх + lycosny -\- /cos nz. (4)
§ 3. Связь законов движения энергии с законами частичных движений сред. Диференциальные законы движений частиц различных сред дают, как известно, возможность установить математическое выражение, представляющее закон сохранения энергии для всей среды.Если через 8J обозначим приращение живой силы в элементе объема среды, через IW- приращение работы частичных сил элемента и через 8L-приращение работы давлений на элементе da поверхности тела, причел1 все эти приращения отнесены к единице времени, мы всегда имеем возможность по , основным диференциальным законам движений частиц среды составить следующее выражение, причем предполагается, что внешние силы не действуют на частицы среды.
(8j + svv)dco + sldc=--0. (5)
В этом выражении dco представляет элемент объема среды, тройной интеграл распространяется на всю среду, а двойной-на ее поверхность. Выражение (5) представляет не что иное, как закон сохранения энергии для всей среды.
Для данной среды подобное выражение может быть составлено еще другим образом, исходя из уравнения (I). Умножая обе части этого уравнения на элемент объема йсо и интегрируя на всю среду, мы находим:
или преобразовывая второй тройной интеграл:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156