 |
 |
 |
 |
нашел, что для задач о дозвуковых течениях этот способ дает сходящиеся решения, и даже утверждал, что он ведет к ускорению сходимости но сравнению с другими способами. Итон и Цумвальт [1967], а также Кесслер [1968] обнаружили, что этот способ дает хорошие результаты в том случае, когда скачок проходит через границу. (В последних трех работах применялась схема Русанова, онисанная в разд. 5.4.3.) Причины различных отзывов о способе постановки на выходе этих условий неизвестны. Итон и Цумвальт [1967] нашли, что в случае пересечения ударной волной выходной границы применение линейной экстраполяции (5.170) приводит к неустойчивости даже в том случае, когда первоначально поток был сверхзвуковым. Ясно также, что в случае пересечения хвостовой волной выходной границы В 6 исиользование на ней линейной экстраполяции может привести к серьезным ошибкам, если не к возникновению неустойчивости.
Если отвлечься от случая выхода ударной волны на границу В 6, то способ линейной экстраполяции (5.170) оказывается, вообще говоря, приемлемым; его исиользовали Сондерс [1966], Лапидус [1967 , Итон и Цумвальт [1967], Скоглунд и Коул [1967], Руо [1967], Аллен [1968], Роуч и Мюллер [1968], Скоглунд и Гей [1968], Аллен и Чен [1970].
Аллен [1968] экснериментировал также с квадратичными и кубическими экстраноляциями вида
= 3/, ,-3/, 2 + f, 3, (5-172)
f, = 4/, ,-6U + 4f, 3(5.173)
В своих последних расчетах (Аллен и Чен [1970]) он пользовался соотношением (5.172), но обнаружил, что разница между снособами (5.172), (5.173) и (5.170) незначительна. Аллен [1968] также менял положение выходной границы и не обнаружил значительной разницы в двух полученных решениях - одном частично дозвуковом (около границы В 1 иа рис. 3.22) и другом полностью сверхзвуковом на выходной границе, - разрешив таким образом вопрос о необходимости сверхзвукового потока иа выходе (см. также численные эксперименты с выходной границей Росса и Чена [1971]). Выяснилось, что условие сверхзвукового потока на выходе не является ни необходимым, ни достаточным условием для обеспечения устойчивости и точности.
Руо [1967] экспериментировал с осреднением граничных условий (5.1716) и (5.170) и с введением сдвига по времени):
/Г-/?-.; (5-174)
1) Для модельного уравнения (5.1) способ (5.174) при числе Куранта 0=1, конечно, дает точное решение.
( dU\ б / Ьи \ 1VC4
Производные по г/ в точках выходной границы вычислялись при помощи стандартных аппроксимаций, принятых во внутренних точках расчетной области. Как и экстраполяция (5.1716), этот способ давал хорошие результаты даже в случае пересечения выходной границы ударной волной.
Роуч и Мюллер [1968] рассмотрели сходный способ постановки граничных условий на выходе, аналогичный их способу для течений несжимаемой жидкости (разд. 3.3.7). Конвективные члены уравнения количества движения в направлении х аппроксимировались по схеме с разностями против потока. Диффузионные члены с производными по х, члены со смешанными производными и составляющая градиента давления по х вычислялись в точках /- 1; сама по себе эта процедура порождает тенденцию к дестабилизации расчета, которая подавляется за счет сдвига по времени. Как и в случае расчета течений несжимаемой жидкости, члены с производными по у могут вычисляться на входной границе при помощи стандартных аппроксимаций, принятых во внутренних узлах. Например, уравнение количества движения в направлении х (4.426) может иметь следующий конечно-разностный аналог:
Г бр
(Р«)Г/ = (Р«)?./-Л/ I
{риу,~{ри)} , , Д(р«.)
/ Ах ~ Ау
, п 1 ( Ьи\ п Ь ( 6v Y-\ /г
+ -rT { / + ( ) / + 1 -бГЛ-.} (5.176)
1) Как отметил Чеп [1970], любые экстраполяции основаны на значениях, полученных в результате расчета, а не на точных значениях и, следовательно, их точность ограничена.
он обнаружил, что лучше использовать условие (5.1716), как это было указано ранее.
Эрдош и Заккаи [1969], а также Шихна с соавторами [1970] применяли квадратичную экстраполяцию, причем полиномы строились по значениям в последних пяти узлах сетки по методу наименьших квадратов. Представляется, что этот способ дает не большую точность, чем менее сложные экстраполяции). При пересечении границы ударной волной здесь также развивалась неустойчивость.
В расчетах невязких течений по схеме Русанова (разд. 5.4.3) Итон и Цумвальт [1967] вернулись к схеме с разностями против потока в направлении х, причем вторые производные, входящие в члены с искусственной диффузией, на выходной границе полагались равными соответствующим производным в узлах, лежащих на расстоянии одного шага от границы:
д / ди
где Ь/Ьх ii Ь/Ьу означают центральные конечные разности, а A{puv)/Ay - вклад в d(pu)/dt от потока в направлении у, вычисленный но схеме, принятой во внутреи1И1х узлах расчетной области (этот способ может применяться только в сочетании со схемой с разностями против потока во внутренних точках). В цитированной выше работе во избежание усложнения программирования все вязкие члены, включая б[р(би/бу)]/бг/, вычислялись при / - 1 и п - 1.
Представляется, что этот способ должен давать хорошую точность, однако численные эксперименты Аллена [1968] продемонстрировали незначительную разницу между различными способами экстраполяции, обеспечивающими устойчивость. В соответствии с этим для расчета течений сжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса молшо рекомендовать более простой способ (5.170) при условии, что выходную границу В 6 не пересекает сильная ударная волна.
При больших значениях составляющей скорости v на выходной границе точность расчета можно было улучшить, применяя в сверхзвуковой области приближение простой волны (см. следующий раздел), однако до настоящего времени такие расчеты не проводились.
5,7.7. Верхняя граница
Как и в случае течения несжимаемой жидкости, верхнюю границу (ВЗ на рис. 3.22) можно трактовать как простую стенку с прилипанием или (еще лучше) как стенку аэродинамической трубы без трения. Однако в этих случаях можно ожидать нежелательного влия1шя отраженных от границы волн (см., например, Уилкинс [1969]). Гораздо лучшим способом является воссоздание условий «свободного полета», что возможно в случае сверхзвуковых течений. Этот способ не запрещает втекание через верхнюю границу и является физически осмысленным.
Предположим, что течение около верхней границы представляет собой простую волну. Предположим далее, что рассматриваются характеристики одного семейства и что на расстояниях Ау их можно принимать за прямые линии. С физической точки зрения мы рассматриваем поток через верхнюю границу как невязкое стационарное гомоэнтропическое течение, сформировавшееся прн расширении первоначально однородного потока около искривленной поверхности, т.е. течение Прандтля - Майера (см., например, Овчарек [1964]).
Соответствующая геометрия показана на рис. 5.7. Точка р и узловая точка верхней границы {i,J) лежат на одной и той же характеристике, или линии Маха. Эта линия определяется углом
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [ 134 ] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199