 |
 |
 |
 |
„2 д,е-2аУ Г д ад
дХ аЧ IdY dY У
Такое экспоненциальное растяжение впервые применил, по-видимому, йенсеи [1959] при изучении обтекания сферы несжимаемой жидкостью. Сон и Ханратти [1969], Гамилец с соавторами [1967а, 19676] и Римон и Чен [1969] использовали его для задач об обтекании сферы несжимаемой лсидкостью. Сон и Ханратти [1969] и Гамилец и Рааль [1969] -для задач об обтекании цилиндров несжимаемой жидкостью, Скоглунд с соавторами [1967] и Скоглунд и Гей [1968] -для задачи о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на плоской пластинке и,
нат в задаче об обтекании плоской пластины (Бао и Догерти [1969]). Чаще, однако, увеличения разрешения можно добиться при помощи какого-либо растяжения координат. Как уже было указано выше (см. также Тейлор [1969], Блоттнер и Роуч [1971]), такие преобразования координат в общем случае дают более точные результаты, чем дробление шага сетки. Одним из наиболее распространенных преобразований такого рода является экспоненциальное растяжение. Бао и Догерти [1969] преобразовывали декартовы координаты {х, у) в координаты {X, Y) при помощи соотношений
х = Х, (6.9а)
уЬ{е-\), (6.96)
где а и b - произвольные постоянные, служащие для выбора величины растяжения соответственно областям течения. Запишем уравнения (неконсервативные) для вихря и функции тока в старых координатах {х,у):
+ (6.10)
V4 = , (6.11)
"=4*- "=-4!- с-з)
После преобразования (6.9) эти уравнения принимают следующий вид:
dt ab. \dY дХ дХ дУ) Re >
V4 = S, (6.15)
(6.16)
1) К сожалению, многие авторы употребляют термин «растянутая расчетная сетка» (что справедливо лишь в том смысле, что координаты узлов после преобразования рассматриваются в растянутой шкале) в тех случаях, когда фактически производится преобразование уравнений.
) Такое преобразование координат в задаче о расчете сверхзвукового обтекания тела с отошедшей ударной волной задолго до Моретти ввел О. М. Белоцерковский; см. Белоцерковский О. М. Обтекание кругового цилиндра с отошедшей ударной волной. - ДАН СССР, 1957, т. ИЗ, №3, с. 509--512. В дальнейшем это преобразование неоднократно использовалось многими авторами. - Прим. ред.
*) В более ранней работе (Годунов с соавторами [1959] подобным же образом исследовали ударную волну как разрыв непрерывности. Их метод тесно примыкает к хорошо разработанному методу, известному как метод Годунова (см. разд. 5.5.8) и по существу скорее является методом изменения сетки, нежели преобразованием координат.
наконец, Бао и Догерти [1969] -для задачи об обтекании пло ской иластинки несжимаемой жидкостью.
Цель подобных преобразований растяжения та же, что и при деформации расчетных сеток, которая обсуждалась выше в разд. 6.1, - добиться увеличения разрешения в онределенной области. Заметим, однако, что эти два подхода по существу различны). Когда непреобразованные уравнения представляются уравнениями в конечных разностях на растянутой расчетной сетке, то, как мы видели выше, в результате получается ухудшение формальной точности; напротив, преобразованные уравнения могут быть представлены уравнениями в конечных разностях на равномерной расчетной сетке (например, с постоянными АХ, ДУ) без ухудшения порядка формальной точности с той лишь разницей, что порядок ошибки будет равен 0{AY), а не 0{Ау). Следовательно, в этом случае иредночтительнее преобразование координат. О потенциальных возможностях преобразования координат свидетельствует тот факт, что при помощи соответствующего параболического преобразования координат можно получить точное решение для течения Пуазейля на расчетной сетке, содержащей всего одну внутреннюю точку (Блоттиер и Роуч [1971]).
Наверное, наиболее удачным и важным конечным преобразованием координат является преобразование, примененное Моретти (Моретти и Аббетт [19666]; Моретти и Блейх [1967, 1968] )2) для двумерных и трехмерных задач расчета отошедшей ударной волны перед затупленным телом в потоке невязкого газа, а также Моретти и Саласом [1969, 1970] для течений вязкого газа) (см. также Моретти [1969а, 19696 ). Произвольная точка, находящаяся между поверхностью тела и ударной волной (рис. 6.4), имеет координаты (г, 0) в полярной системе координат с полюсом, лежащим внутри тела. Расчет течения ведется до некоторого луча Отах, выбираемого таким образом, чтобы на этом луче ноток был сверхзвуковым. Затем область.
Рис. 6.4. Преобразование Моретти для расчета двумерного течения около затупленного тела с отошедшей ударной волной. / - ударная волна, 2 - поверхность обтекаемого тела.
(разд. 5.5.5), хотя на самом деле члены типа df/dxdt получаются в нем путем дифференцирования по пространственной переменной первоначальных уравнений, как в методе Лейта (разд. 3.1.13). Решение преобразованных уравнений осложняется из-за неортогональности X и Y.
Координата rs{Q) ударной волны, разумеется, находится в результате решения, поэтому и само преобразование координат меняется в процессе построения решения. Зависящая от времени величина Гз(6) находится путем расчета иространственного положения ударной волиы по соотношениям Рэнкина - Гюгонно поперек скачка, начиная с некоторого предположительного начального значения. (Узловая точка X = 1 находится непосредственно позади ударной волны.)
Вся вычислительная процедура довольно сложна, но получающиеся результаты окупают затраченный труд. Ввиду того что ударная волна рассматривается как разрыв непрерывности, погрешности, связанные с размазыванием ударной волны (см.
ограниченная ударной волной, осью симметрии, поверхностью
тела и линией и = Umax,
преобразуется в прямоугольник в плоскости {X, Y) при помощи соотношений
-./(еТ-Г(9)- [ОЧ- (6.17а)
Yn-Q, Уе[я-е„,„я], (6.176)
где гь(6) и гй) -значения координаты г поверхности тела и ударной волны соответственно. Преобразованные уравнения записываются в конечных разностях на сетке с постоянными шагами АХ и АУ при помощи метода Моретти (разд 5.5.8), который обычно считается методом типа Лакса - Вендроффа
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [ 140 ] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199