Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

составляющих с вектором скорости углы ±Д, где ,i = == arc sin (1/М). В курсе Липмана и Рошко [1957] изложены также метод характеристик для осесимметричных течений и усложнения, возникающие при отсутствии гомоэнтропнчности (т. е. в том слхчае, когда энтропия постоянна лишь вдоль линий тока, а по нормали к ним может быть переменной). Однако мно-гпе другие проблемы, связанные с получением решений по методу характеристик, не обсуждаются в имеющихся учебных руководствах. Так, в учебниках отсутствует описание наиболее современного варианта метода характеристик, согласно которому решение продвигается вниз по потоку на заданный шаг с учетом условия устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви [1928], а характеристики выпускаются вверх по потоку, причем необходимые величины определяются с помощью интерполяции.

На возникновение скачка при расчете по методу характеристик указывает пересечение характеристик (линий Маха) одного семейства. В этом случае должен быть выделен косой скачок, угол наклона которого определяется совместным решением соотношений Рэнкина - Гюгонио и характеристических соотношений за скачком. Выделение скачков в расчетах плоских задач по методу характеристик изложено в работах Хартри [1958] и Ричардсона [1964] с обсуждением вопросов программирования. Кеннеди [1956], Вейс с соавторами [1966], Морено [1967], Аббетт [1970] рассматривали выделетше скачков в расчетах осесимметричных задач по методу характеристик. Метод характеристик удобен для расчета одномерных нестационарных невязких течений. Такие расчеты выполняли Шапиро [1953], Хоскин [1964], Хоскин и Лембурн [1971], причем в работе Хос-кина [1964] обсун<даются также вопросы программирования. В методе характеристик не применяются консервативные схемы, и поэтому проверка консервативности может служить указателем величины ошибок аппроксимации. Пауэре и ОНейлл [1963] указали, что ошибки, связанные с нарушением свойства консервативности, возрастают при гиперзвуковых скоростях (при малых углах Маха и больших градиентах), и дали метод определения энтропии в узлах сетки при помощи расчета потока массы.

В случае стационарных трехмерных течений возникает определенная свобода при разработке метода характеристик, что привело к появлению пяти или шести различных вариантов трехмерного метода характеристик. Чу [1964] приводит простой вывод трехмерных характеристических соотношений. Чушкин [1968] дал обзор четырех вариантов трехмерного метода характеристик и учел влияние неравновесности. Пауэре с соавторами [1967] разработал трехмерный метод характеристик и включил в свой алгоритм расчет пограничного слоя. Магомедов [1966] обсуждал варианты трехмерного стационарного и дву-



мерного нестационарного ысюдов характеристик. Зауервейи и Дитхельм [1967], Рэкич [1967, 1969], Магомедов и Холодов [1967], Григорьев и Магомедов [1970], Рэкич и Клири [1970] успешно применяли разработанные ими схемы трехмерного метода характеристик. Обычно метод характеристик дает первый порядок точности (см. разд. 5.5.2); Рэисом с соавторами [1970, 1971] обсуждали устойчивость и точность трехмерного метода характеристик второго порядка точности. В работе Рёзнера [1967] изложен трехмерный нестационарный метод характеристик.

Кроме того, с помощью метода характеристик решались следующие задачи. Приели и Хансон [1969], а также Фиккетт с соавторами [1970] рассчитывали одномерные нестационарные течения с химическими реакциями. Меттьюс [1969] рассматривал стационарное квазиодномериое течение. Хуан и Чау [1968] рассчитали точечный (сферический) взрыв с тщательным рассмотрением начальной особенности и образования вторичной ударной волны. Адамсон [1968] получил в характеристических координатах некоторые аналитические решения. Варианты численной реализации метода характеристик рассматривали Поль и Ахмад [1970]. Робертсои и Уиллис [1971 рассчитали расширение разреженного газа в вакуум. Чушкин [19706] дал решение задачи о горении в сверхзвуковом потоке.

Файф с соавторами [1961], а также Итон [1970] провели некоторые сравнения между методом характеристик и конечно-разностными методами иа равномерной сетке. Решение по методу характеристик может быть включено в алгоритм расчета в качестве части итерационной процедуры наряду с расчетом сдвигового слоя с помощью приближения пограничного слоя. Эта идея реализована в работах Вейса и Вейнбаума [1966], Вейнбаума [1966], Оренбергера и Баума [1970], Мюллера с соавторами [1970] и Бургграфа [1970].

Расчет по методу характеристик должен начинаться от некоторой линии (не являющейся характеристикой), иа которой заданы все необходимые начальные данные. По методу характеристик нельзя ии получить начальные данные вверх по потоку, ии удовлетворить все физически возможные условия вниз по потоку. При расчете обтекания затупленных тел необходимо сначала рассчитать течение с отошедшей ударной волной в области, граница которой расположена за звуковой линией, а потом применять метод характеристик; см. Ваи-Дайк [1958], Моретти и Блейх [1967, 1968], Морено [1967], Льюис с соавторами [1971].

При расчете по методу характеристик сверхзвукового обтекания заостренных тел необходимо отправляться в плоском случае от решения для плоского косого скачка, а в осесимметричном



случс1с от решения Тейлора - Макколла для конического скачка (см., например, Липман и Рошко [1957]). Для сопел исходное решение вблизи критического сечения может быть получено либо при помощи расчета трансзвуковых уравнений методами конечных разностей, либо при помощи полуэмпирической теории (см., например, Раптош [1952]). При расчете течения внутри сопла метод характеристик даст решение без скачков с давлением на выходе Ре- Однако если давление во внешней среде Рь таково, что Рь/Ре <. Рг/Ри где Р2/Р1 - отношение давлений на прямом скачке, то внутри сопла возникает скачок. Положение этого скачка нельзя рассчитать по методу характеристик. Даже при меньших величинах отношения Рь/Ре > 1 внешнее давление может вызвать значительное утолщение пограничного слоя и отрыв потока вверх по течению, что также приведет к невозможности построения решения методом характеристик.

В самое последнее время достигнуты большие успехи в расчете трансзвуковых течений невязкого газа. Обзор более ранних работ можно найти в AGARD [1968]. Последние успехи в этой области изложили Липницкий и Лифшиц [1970], Мёрман и Крупп [1971], Мёрман и Коул [1971], Стеджер и Ломекс 1971а, 19716], Макдональд [1971], Гопаларкришнан и Боццола 1971], Кан и Гарсия [1971], Гроссмен и Моретти [1970], Кенцер [19706], Белоцерковский [1970], Магнус и Иосихара [1970], Крупп и Мёрман [1971]. Локк [1970] привел проверочные варианты для расчета трансзвуковых течений.

Если не предполагать отсутствия вязкости, то уравнения Навье - Стокса можно упростить при помощи приближения пограничного слоя, что означает пренебрежение диффузионными членами в направлении течения. В случае классической теории пограничного слоя первого порядка (теория Прандтля) в несжимаемой жидкости это приближение сводится к одному уравнению, параболическому по пространственной переменной и справедливому в тонкой области вблизи стенки. Давление поперек пограничного слоя и скорость на его внешней границе определяется из решения задачи об обтекании невязкой жидкостью. Таким образом, для расчета обтекания несжимаемой жидкостью остается одно параболическое уравнение, которое можно численно проинтегрировать в направлении течения. Основная теория пограничного слоя изложена, например, в книгах Шлихтин-га [1968] и Розенхеда [1963].

При некоторых частных условиях на внешней границе пограничного слоя теория подобия сводит уравнение в частных производных к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению для безразмерной функции тока, для которого ставится краевая задача. Примером такого уравнения может



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199