 |
 |
 |
 |
(вплоть до возникновения отрыва или перехода в турбулентный режим). При условии преодоления известной инертности исследователей этот подход внесет значительный вклад н в инженерную практику, и в методику преподавания.
Существуют и другие упрощения системы уравнений Навье - Стокса, не меняющие, однако, тип системы уравнений столь радикально, как перечисленные выше. В том случае, когда вязкие члены полностью преобладают над конвективными, система уравнений в переменных гз, g для стацпоиарного течения несжимаемой жидкости сводится к одному линейному бигармонте-скому уравнению четвертого порядка, как это предлагается показать в следующем упражнении.
Упражнение. При помощи уравнений гл. 2 показать, что система уравнений в переменны.х ,1 для стационарного течения в случае Re->0 принимает вид
V4- = V4Vti) = 0. (6.39)
Трудность этого подхода заключается в постановке граничных условий; см. следующие работы; Том [1953], Пирсон [1964], Фейрвезер и др. [1967], Берпал и Уайтмен [1968, 1970], Дисте-фапо [1969], Бурсье и Франсуа [1969], Дж. Смит [1970].
Другим общеупотребительным упрощением является приближение Буссинеска, применяемое при рассмотрении течений естественной конвекции, вызванных неравномерным нагревом. Кол-дер [1968] дал вывод и интерпретацию уравнений Буссинеска в декартовых координатах. Варне [1967] рассматривал линеаризованные уравнения Буссинеска в цилиндрических координатах, Торранс и Рокетт [1969] - в декартовых и цилиндрических координатах, де Валь Дэвис [1968] и Фаста [1970]-в декартовых координатах, Браун [1967] -в сферических координатах, Уильяме 1969] -в цилиндрических координатах в трехмерном случае, Кабелли и де Валь Дэвис [1971], а также Липпс и Са-мервилл [1971] -в декартовых координатах в трехмерном случае. У. П. Кроули [19686] при изучении слабой атмосферной ячеечной конвекции рассчитал по уравнениям Буссинеска среднее и возмущенное течения. В работах Дали и Прахта [1968], а также Дали [1969а, 19696] установлены границы применимости приближения Буссинеска.
Расчет слабых волн давления можно сильно ускорить с помощью применения линеаризованных уравнений для течения сжимаемого газа. Этим приемом пользовались Цумвальд [1967] при расчете звукового удара и Лу [1967] при расчете излучения акустических волн в ближней зоне.
При квазиодномерном приближении поперечное сечение потока рассматривается как функция от одной пространственной координаты и параметры течения по всему поперечному сечению
предполагаююя постоянными. Этот подход успешно применялся при расчете течений внутри сопел; см, Крокко [1965] и Андерсон [1969а, 19696, 1970а, 19706].
Для расчета течения в открытом канале Гунаратиам и Пер-кинс [1970] разработали неявные схемы высокого порядка для решения уравнений Сен-Венана.
Чрезвычайно важен расчет метеорологических и других геофизических задач. Численный прогноз погоды является, без сомнения, одной из наиболее насущно важных проблем, и поэтому методы, применяемые метеорологами-вычислителями, очень хорошо разработаны. Во многих отношениях различные системы уравнений, описывающих метеорологические задачи, могут быть более сложными, чем обычные уравнения, применяемые в аэродинамике, за счет наличия членов, описывающих кориолисово ускорение, перенос примесей, испарение и конденсацию, рельеф местности, излучение и т. п.
Однако здесь также применяются некоторые упрощения. Например, неоднородность атмосферы по вертикали можно учесть с помощью рассмотрения удивительно малого числа «уровней»; так, пяти-, семи- и девятиуровневые модели сложны и разработаны относительно недавно, в то время как многие особенности явлений можно получить даже при расчетах по одно- и двухуровневым моделям (см., например, Томпсон [1961], Хафтон и Изаксон [1968]). Определенные геометрические трудности, связанные с рассмотрением сферического сектора, можно преодолеть с помощью приближения (З-плоскости. Члены с ламинарной вязкостью обычно отбрасывают, однако атмосферная турбулентность может привести к появлению диффузионных членов. (Эту турбулентность можно рассматривать как двумерную.)
Подход, связанный с рассмотрением вихря скорости, часто оказывается более удобным, чем решение уравнений для простейших физических переменных; одно из наиболее интересных приближений состоит в оиределении зависящей от времени функции тока и, следовательно, поля конвективных скоростей только по вычисленному распределению вихря. Граничные условия для расчетов в некоторой выделенной области на мелкой сетке удобно определять по результатам предыдущих расчетов иа более грубой сетке. В метеорологических задачах стационарные решения обычно не представляют интереса, однако они могут представлять интерес в других геофизических задачах (например, ячеечная конвекция, вызванная солнечной радиацией). Обычно в метеорологических задачах требуется но крайней мере второй порядок аппроксимации по времени. Интересной особенностью этих задач является то, что гидростатическое давление р иногда принимается за независимую переменную вместо вертикальной координаты h, которая представляется как h(p).
Лилли [1965], Касахара [1965], Граммельч ведт [1969] а Полджер [1971] привели сравнения различных конечно-разностных схем для метеорологических задач. Граммельтведт [1969], Уильямсон [1969], Полджер [1971] применяли приближение (З-плоскости. Баэр и Кинг [1967], Баэр и Симоне [1968], Граммельтведт [1969] описали применение спектральных уравнений.
Особенно привлекательны расчеты метеорологических задач в глобальном масштабе. Лейт [1965] дал полное описание физической модели и конечно-разностных схем (см. разд. 3.1.13) для расчета глобального прогноза погоды, а Хардн [1968] при помощи программы Лейта провел численные эксперименты, моделирующие движение атмосферных потоков. Брайен [1963] и У. П. Кроули [1970в] численно изучали движение океана под действием ветра. Брайен [1969] разработал численную модель мирового океана с учетом влияния рельефа дна океана. Лейт [1971] показал, что динамика атмосферы в глобальном масштабе подчиняется некоторым законам двумерной турбулентности, и дал оценки точности расчета атмосферных явлений в зависимости от точности конечно-разностных аппроксимаций н от точности и Полноты начальных данных.
В следующих ссылках дан обзор последних работ в области метеорологии и океанографии. Леблан [1967] экспериментировал с численным расчетом образования слоистых облаков. Арна-сон с соавторами [1968] численно моделировал грозовые тучи, включая стадию выпадения дождя. Арнасон с соавторами [1967] показал, что применение конечно-разностных схем в области особой точки для невязкого бароклинного уравнения устойчивости Приводит к неточным результатам. Эсток и Бхумралкар [1969] рассчитали плоское обтекание локализованного теплового источника. Гари [1969] сравнивал две, а Силецкн и Вур-теле [1970]-три конечно-разностные схемы для уравнений теории мелкой воды (течение несжимаемой невязкой жидкости со свободной поверхностью) на полусфере; Густафсон [1971] применил здесь неявную схему метода чередующихся направлений.
Хафтон и Джонс [1969] разработали численную модель линеаризованных гравитационных и акустических волн, распространяющихся вертикально в атмосфере. Касахара и Хафтон [1969] показали, что при расчете обтекания препятствия в рамках теории мелкой воды при одних и тех же начальных условиях можно получить различные решения со слабыми разрывами (неединственность) в зависимости от формы исходных уравнений в частных производных. Соби [1970] сравнивал четыре схемы при расчете длинных морских волн. Манкузо [1967] разработал методику расчета функции тока и потенциала ско-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [ 147 ] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199