 |
 |
 |
 |
и аналогично
Появление таких осцилляции нарастающей амплитуды, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, называется динамической неустойчивостью, которую можно устранить уменьшением шага по времени, сделав его меньше некоторого «критического шага по времени» Акр-
Рассмотрим теперь уравнение (3.51) только с одним конвективным членом. Оценим это уравнение в точке i, полагая ц > 0. Предположим, что возмущение колеблется по i, а его амплитуда растет с ростом i. Поэтому usi+i > О, Ц8, 1 > О,
ые,+1 > не,-1 и
це,,, - U8, ,
A,=.-M-±L--bL<0, (3.56)
т. е. приращение обусловленное конвекцией, отрицательно даже при ег < 0. Это означает, что ошибка растет монотонно (см. рис. 3.6,). Появление такой нарастающей ошибки называется статической неустойчивостью, которую нельзя устранить уменьшением шага по времени и можно устранить только переходом к какой-либо другой конечно-разностной схеме.
Если пространственное направление роста е по отношению к и отличается от показанного на рис. 3.6, т. е. если либо ц < О, либо амплитуда е уменьшается по i, то конвективный член становится статически устойчивым, но при достаточно больших еще может иметь место динамическая неустойчивость. В любой реальной задаче начальные ошибки распределены более или менее случайно, и можно быть уверенным, что в некоторый момент времени и в некоторой точке их распределение будет похоже на изображенное на рис. 3.6 «катастрофическое» распределение.
Если в уравнение (3.51) входят и конвективный, и диффузионный члены, то они взаимодействуют. Как мы вскоре увидим, для рассматриваемой разностной схемы возникает ограничение на Д, обусловленное диффузионным членом, и другое ограничение на Д, зависящее от сравнительной величины статически неустойчивого конвективного члена и статически устойчивого диффузионного члена, т. е. от числа Рейнольдса. Эти моменты станут ясны в следующем разделе.
таких слишком больших величина нового 5+ будет больше начального возмущения, как это показано на рис. 3.6, г:
\Г\>Ы (3.64)
C?i,4>8- (3.55)
(3.57)
(3.58)
Sr = 8(l-20?), (3.59)
где диффузионное число d определяется равенством
d = . (3.60)
В силу требования устойчивости эти возмущения должны затухать. Для первого шага по времени это приводит к условию
?»+78 1<1, (3.6П
3.1.5, Исследование устойчивости
После того как было дано общее описание устойчивости, рассмотрим три метода исследования устойчивости, их взаимосвязи и сравнительные достоинства. Эти методы будут продемонстрированы на примере разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной в применении к линейному модельному уравнению (3.18).
3.1.5. а. Исследование устойчивости методом дискретных возмущений
Метод исследования устойчивости, который мы называем методом дискретных возмущений, представляет собой обобщение метода, впервые использованного Томом и Апельтом [1961] и развитого Томаном и Шевчиком [1966]. Этот метод полностью отвечает уже данному нами описанию неустойчивости. Он прям и прост по идее, применим для анализа как устойчивости, так и свойства транспортивности, которое будет определено ниже. Коротко говоря, в уравнения в некоторой точке вводится дискретное возмущение величины С и прослеживается влияние этого возмущения; конечно-разностная схема будет устойчивой, если возмущения затухают.
Простоты ради сначала рассмотрим уравнение (3.18) только с диффузионным членом и предположим, что найдено стационарное решение "-О для всех i. Введем в решение возмущение 8 и из (3.18) по схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной получим
+ Si+S? i-2(S?-f s) --IP-•
) Заметим, что уравнение диффузии не может решаться ни для разностей назад по времени (Д/ < 0), ни для а < О, так как прн этом оно будет математически и физически неустойчиво. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.
-1<1-2с?<1. (3.62)
Правое неравенство является результатом требования статической устойчивости и автоматически выполняется при положительных d, т. е. при а>0 и Л>0). Левое неравенство является требованием динамической устойчивости и выполняется при d \. Если, следуя Томану и Шевчику [1966], потребовать еще, чтобы численное решение моделировало физическое явление, не допуская осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, т. е. чтобы
SrV«>0 (3.63)
то получается ограничение
rf<V2- (3.64)
Неравенство (3.63), однако, не является условием устойчивости в смысле уменьшения амплитуды возмущения. Интересно отметить, что если рассматривать достаточно большое число слоев по времени, то потребуется выполнение неравенства (3.64). Сначала по схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (уравнение (3.18)) вычислим возмущение в соседних точках:
S?+=rf8. (3.65)
Для следующего слоя по времени получим
8 (1-20?) -f [с/е -f с?8 - 2е (1-2с?)] = 8 (1-40? -f 6d). (3.66) Снова потребуем, чтобы имело место неравенство
СГ78<1, (3.67)
откуда получается
-1<1-4rf-f 6с?2:1. (3.68)
Левое неравенство выполняется всегда, в то время как правое накладывает ограничение d /з.
Таким образом, рассмотрение первого временного слоя приводит к условию d I, а второго - к условию с? з- Можно рассматривать и последующие временные слои, которые приводят к еще более ограничительным условиям для d. Начальное
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199