Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [ 168 ] 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

задачу, в которой достигается стационарное состояние, т. е. "+ = ")- И сама конечно-разностная схема (Б.2), и весь опыт расчетов многомерных задач по схеме конечных разностей против потока показывают, что изменение не должно влиять на стационарное решение. Однако соотношение (Б.7) указывает, что при уменьшении А величина ае увеличивается (через посредство С). Если конценция схемной вязкости имеет право на существование, то решение конечно-разностного уравнения, казалось бы, должно зависеть от однако мы знаем, что можно изменять меняя А, а стационарное решение при этом не будет меняться.

Вместо ириведенного выше анализа нестационарного уравнения можно изучать влияние иредиолагая, что стационарное состояние существует. Полагая в уравнении (Б.2) 1,"== = Z1 и разлагая в ряд Тейлора, получаем выражение для ае при стационарном анализе (которое мы обозначаем через aes):

а«=/2«Ад;. (Б.8)

При таком оиределении aes f{At) и независимость стационарного решения от А не вызывает сомнений.

Разрешение парадокса о двух различных способах определения величины ае по формулам (Б.7) и (Б.8) легко следует из того, что для модельного уравнения при отсутствии вязкости единственным возможным стационарным решением с и - const является тривиальное решение = " = const. В этом случае д/дх = 0, что допускает произвольные значения величины а. Однако возникает вопрос о том, какой из двух вариантов анализа (или ни один из них) применим к задачам с диффузионными членами, к многомерным задачам и к задачам с неносто-янной скоростью и конвекции.

На этот вопрос можно легко дать недвусмысленный ответ, добавив в уравнение (Б.1) диффузионный член с физическим коэффициентом диффузии а:

lt = - Kx + Кхх. (Б.9)

Представляя конвективный член конечными разностями против потока, временной член - конечными разностями вперед повремени, а диффузионный член - центральными разностями, получаем

=1}-С{Щ- -f d (?«, - 2?» + (Б.10)

где d = aAt/Ax. Стационарный анализ уравнения (Б.9) дает

0=-«L-f (a-f aj-f 0(Ах2), (Б. 11)

) Не будем здесь усложнять изложение обсуждением критериев итерационной сходимости.



где aes снова определяется по формуле (Б.8), результат же нестационарного анализа изменится, поскольку теперь соотношение (Б.5) должно быть заменено следующим:

Ztt = (- + <iLx)t = чЧхх - 2ual -f а%, (Б.12)

и тогда вместо соотношения (Б.б) будем иметь

lt = - ul, -f (а -f aj -f 0 (Ax2, A/) + ПВП, (Б. 13)

где через ПВП обозначены члены с производными высшего порядка

ПВП = А/ [«о?,,, - (aV2) (Б. 14)

а ае опять определяется по формуле (Б.7). Хёрт [1968] отбрасывает члены ПВП и после этого успешно исследует устойчивость решения нестационарной задачи, однако поскольку нас интересует ае, соответствующее стационарному рещению, мы вынуждены сохранить члены ПВП.

Для любого стационарного рещения из уравнения (Б.9) следует

1х... = (и/«) I,,. = {ulaf = I,. (Б. 15)

Применим соотнощения (Б.15), справедливые для стационарного состояния, к результатам нестационарного анализа. Считая рещение уравнения (Б.13) стационарным, учитывая (Б.14) и (Б.15) и подставляя в (Б.13) выражение (Б.7) для ае, получаем

О -f olx + (« Ах/2) - {и" М/2) -f

-f A/ua(u/a)-A/(a2/2)(u/a)2,,-f 0(Ах2, A/), (Б. 16) О = -f (a -f a J I,, -f 0 (Ax, Ы\ (Б. 17)

где aes определяется по формуле (Б.8). Отсюда становится ясно, что хотя величина ае, даваемая выражением (Б.7), и пригодна для анализа устойчивости но Хёрту, однако определенный выражением (Б.8) коэффициент aes соответствует достижению стационарного состояния даже при нестационарном анализе.

Можно показать, что последнее из соотношений (Б.15) можно использовать для исключения aesXr,xx из соотношения (Б.11), что приводит к выводу о наличии в схеме не искусственной схемной вязкости, а искусственной схемной скорости конвекции Ues, именно

0 = -(„-Hj-f a?-f 0(Ах2), (Б. 18)

«84 = aes"/a == /г Ах/а. (Б. 19)



Однако член с искусственной схемной скоростью в равенстве (Б. 18) все же следует интерпретировать как член, вносящий эффект искусственной вязкости, даже если член aesZxx отсутствует. Стационарное решение определяется не значениями а и и по отдельности, а их отношением и/а с учетом граничных условий. При соответствующем выборе характерного линейного размера задачи для приведения уравнения к безразмерному виду отношение и/а есть не что иное, как число Рейнольдса. Поэтому влияние искусственной схемной вязкости сводится просто к уменьшению эффективного значения числа Рейнольдса и/а. В соотношении (Б.И) влияние схемной вязкости выражается в искусственном увеличении а, что влечет за собой уменьшение величины и/а до и/{а -\- aes). В соотношении (Б.18) влияние схемной вязкости выражается в искусственном уменьшении величины и, причем и/а уменьшается до {и - Ues)/a. Таким образом, и величина aes в (Б.11), и величина Ues в (Б.18) уменьшают эффективное значение числа Рейнольдса и, следовательно, создают эффект искусственной вязкости.

В действительности обоим этим вариантам анализа присуща некая количественная неоиределенность, обусловленная ириме-нением соотношений (Б. 15) к конечно-разностным уравнеииям, в то время как они, строго говоря, применимы лишь к дифференциальным уравнениям. В соотношение (Б.11) входит коэффициент

а -f а, Т ( 1+ V2« Axja ) (-2°)

а в соотношение (Б. 18) - коэффициент

{и - Ues)/o. = (u/a) (1 - V2« Ах/а). (Б.21)

Однако поскольку 1/(1--е) =»= 1-e-f-O(e), коэффициенты (Б.20) и (Б.21) для оценки влияния схемной вязкости равноценны с точностью до ошибки анироксимации Ах при условии, что

V2uAx/a<l. (Б.22)

Очевидно, что это условие выполняется при Ах->0, и в этом случае соотношения (Б.15) можно применять к конечно-разностным уравнениям. (Условие (Б.22) является известным условием обеспечения формальной точности схемы конечных разностей против потока, требующим, чтобы сеточное число Рейнольдса uAx/a было существенно меньше 2.)

Аналогично, соотношение (Б.15) вполне законно может быть использовано в равенстве (Б.11) для представления ошибки анироксимации иервого порядка членом 1,ххх с соответствующим



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [ 168 ] 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199