 |
 |
 |
 |
= « = (3-327)
проводится очень просто (см. Квон с соавторами [1966]).
Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечно-разностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При нервом направлении обхода но схеме (3.316а) должно быть известно значение g*" с (rt-(-l)-ro временного слоя; при втором нанравлепии обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение +, где / = тахг. Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводности, где температуры или градиенты температуры на границах, как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявных схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы «чехарда» и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида 1 и /г), характерные
для явных схем. Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой но обоим чередующимся направлениям обхода точек нснользуются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964]):
Г = с: - С{Ci - Ci) + d {1%, - - + (3-328a)
r = С - С - + d(Ci - С -1 + U) (3.3286) r=i(?; + ?r)- (3.328b)
) Неопубликованный результат автора.
И Кларк [1966]; см. также книгу Карнахана с соавторами [1969]. Применение явной схемы метода чередуюнхихся направлений к нелинейному уравнению диффузии
Члены, стоящие в правой части, вычисляются как средние значения вдоль диагонали ячеек пространственно-временной сетки. Если расчет ведется в направлении увеличения i (см. рис. 3.13), то будем иметь
C = (r+S;j при/t, (3.331а)
Cm-Utl+ при ft. (3.3316)
Подставляя эти выражения в уравнение (3.330), получаем
Cr=Cr-(Ci-C.O. (3.332а)
1=1. (3.3326)
Для такой схемы анализ устойчивости при помощи метода фон Неймана дает
. Х-С-аЛ-ае-+Се--
-C + Ce--d + de-<
l+d- de
G = 1(G* + G**). (3.329b)
Алгебраическое исследование уравнений (3.329) весьма затруднительно. Численное исследование их для полного интервала изменения параметров С, d и 9 приводит к условию устойчивости 1; ограничения на d здесь нет. Для решения задач гидродинамики с ненулевыми конвективными членами ни схема (3.328), ни какая-либо другая явная схема метода чередующихся направлений на практике не использовалась. Единственное исключение составляет рассчитанное Сакураи и Ивасаки [1970] решение задачи о структуре одномерной ударной волны, в которой не ставятся краевые условия.
Роберте и Вейс [1966] предложили удачный вариант явной схемы метода чередующихся направлений для решения уравнения переноса для невязкой жидкости, который они назвали «схемой с разностями по диагонали». Эта схема основана на центральных разностях как для производной по времени, так и для производной по пространственной переменной, которые вычисляются в точках, расположенных на полушагах сетки:
-аГ=-" \х (3.330)
Упражнение. Показать, что в случае проведения расчета в направлении убывания ( схема с разностями по диагонали Робертса и Вейса имеет вид
1 - С/2 •
(3.333а) (З.ЗЗЗб)
Поскольку в рассматриваемой схеме используются центральные разности как по времени, так и но иространственной неременной, схема имеет второй порядок точности; однако из-за
Рис. 3.13. Схема с разностями по диагонали. Кружки соответствуют известным значениям при обходе в направлении роста i, ромбик - неизвестному значению в точке (i, п-j-1), треугольники - значениям, определяемым на середине диагоналей ячеек на полушагах. Стрелка справа показывает направление обхода.
наличия смешанной производной (по времени и но пространственной переменной) в разложениях в ряды Тейлора формально это трудно доказать. Как установили Пиачек и Уильяме [1970], эта схема обладает достаточной точностью в практических расчетах.
Подобно схеме Саульева, рассматриваемая схема оказывается явной во внутренних точках и неявной при расчете граничных условий. Для достижения симметрии при расчете можно чередовать направления обхода точек tf и Исследование устойчивости схемы (3.332) при помощи метода фон Неймана дает
уП+1 уП Цууе yn+l-W
(3.334)
1 - le
(3.335)
откуда Gp= 1 тождественно. Значит, эта явная схема чередующихся направлений безусловно устойчива но фон Нейману и для нее G = 1, как это имеет место и для схемы «чехарда»
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199