Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Если условия на границах В 1 и ВЗ (рис. 3.22) таковы, что дают достаточные граничные условия для уравнения (3.481) вдоль В 6, то экстраполяционная процедура может быть достаточной. В частности, если ф = О вдоль В 1 и г}-) или д-ф1ду фиксировано вдоль ВЗ (как было рассмотрено ранее), то экстраполяции вдоль границы В 6 будет достаточно, но если условие на В 3 также получаегся с помощью экстраполяции, то экстраполяции вдоль В 6 недостаточно. Постановка же условия (52\l)/(5?/2 = О иа ВЗ либо противоречит (3.481), если (В3)=70, либо просто совпадает с (3.481), если t(B3) = 0. Таким образом, достаточность условия д-/ду = О на границе, расположенной вниз по потоку, зависит от условий, заданных на смежных границах, причем существенную роль играет размерность задачи.

Отметим, что решение задачи методом последовательной верхней релаксации с экстраполяционными условиями как на В 3, так и на В 6 могло бы «сходиться» в пределах некоторой заданной точности; значит, дискретизация могла бы, вероятно, привести к единственному решению, т. е. к решению, не зависящему от начального приближения. Но полученное таким образом единственное решение зависит от Ах и Ау, и при Лл;-0 и Ау-0 задача становится неопределенной.

Проведенные выше рассуждения подсказывают эффективный способ удовлетворения условия бф/бл- = О на границе, расположенной вниз по потоку (Роуч [1970], Брили [1970]). Вместо того чтобы применять это условие при i = I-1 с помощью линейной экстраполяции, его можно поставить непосредственно при I =/, сводя условие (3.481) к разностному аналогу обыкновенного дифференциального уравнения

бЧ/6у2 = ?. (3.482)

для которого имеет место краевая задача с условием i5(/, 1) = = О в точке на В 1 и с условием Дирихле или с условием Неймана в точке на В 3. Величина 1,(1, j) на В 6 может быть найдена при помощи любого из уже рассмотренных способов. Это одномерное разностное уравнение можно быстро решить методом прогонки (см. приложение А), не прибегая к итерационным методам. Если на границе, расположенной вниз по потоку, величина ф определена таким образом, то можно с уверенностью проводить решение разностного аналога уравнения Пуассона с условиями Дирихле на В 6. Скорость сходимости при этом также увеличивается (неопубликованная работа автора). Такой способ реализации условия dxl) /дх = О, сводящий на границе уравнение Пуассона к обыкновенному дифференциальному уравнению, необходим, когда для решения уравнения Пуассона



применяются неявные схемы метода чередующихся нанравлений, поскольку расщепление в этих схемах эффективно сводит итерационное решение на полушаге по времени к решению обыкновенного дифференциального уравнения в нанравлений х методом прогонки, а для такого уравнения условие дх/дх = О не является достаточным.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.482) можно решать более простым одномерным методом, онисанным в разд. 3.2.8, вместо более общего метода прогонки (приложение А).

Как уже было указано выше, Фромм [1967] и автор настоящей монографии, используя явные схемы для уравнения переноса вихря, опробовали экстраполяцию как для функции ф, так и для t, и обнаружили, что такие условия обладают дестабилизирующим свойством. Применяя неявные схемы метода чередующихся направлений, Брили [1970] и Феннинг и Мюллер [1971] получили устойчивое решение. Вводя только при расчете t, дополнительную «фиктивную» узловую точку при I = = / + 1, после каждого вычислення dydt вплоть до точки i = I на каждом слое по времени Брили полагал

?;+,=2?; (3.483)

Чтобы удовлетворить условию dljdx = О в точке i - /, решалось обыкновенное дифференциальное уравнение (P-jdtf- - .

Даже при сравнительно мягких условиях (3.478), предложенных Томаном и Шевчиком [1966], можно получить нереально резкое изменение функции в окрестности границы В 6 для течений при малых Re=O(10). Для течений при таких малых Re па выходной границе Роуч и Мюллер [1970] брали «самые мягкие» граничные условия для , которые получаются из уравнения переноса внхря. Предполагая, что ы,, ,-0 (т. е. что В 6 действительно является ebixodnou границей потока), конвективный член для и можно аппроксимировать с помощью разностей против потока при i = /, не прибегая к дальнейшим аппроксимациям. Конвективный член для v также можно аппроксимировать при помощи разностей против потока (в завнсимо-сти от знака v;,,) или при помощи какой-либо другой схемы, используемой во внутренних точках; аналогично, для диффузионного члена в направлении у при г - / не требуется аппроксимации. Член, описывающий диффузию в нанравлений х, мог бы быть вычислен при г = /- 1. Но само но себе такое вычисление является статически неустойчивым (см. разд. 3.1.4) для члена {d%/dx)/Re, особенно в течениях при малых Re. В этом легко убедиться, если вернуться к рис. 3.6; корректирующее смещение, обусловленное членом dX/dx для точки i=I-l,



Ах Ьу I/, /

1 Ь\"

Re by

1 bY~

1-1,1 Re bx

(3.484)

Наличие дополнительного временного слоя п-1 в уравнении (3.484) отнюдь не означает, что необходимо хранить в памяти полную матрицу для ""Д Поскольку это уравнение используется лишь на границе, необходимо помнить только вектор V (/) = 6%/бх J. Здесь производная вычисляется в конце каждого расчета нового значения вихря перед получением окончательных значений, а затем осуществляется переход к новому временному слою.

Рассчитывая все внутренние точки по схеме с разностями против потока, этот способ с успехом применяли ОЛири и Мюллер [1969], а также Роуч и Мюллер [1970]. Независимо от схемы, принятой для расчета внутренних точек, на выходной границе потока рекомендуется использовать разности против потока, хотя бы для представления конвективного члена для и. В пределе при Re ->оо это означает, что граничное условие для t, на выходной границе не является необходимым; это аналогично случаю одномерного дифференциального уравнения dt,/dt = -d{ut,)/dx, где для полной определенности задачи необходимо только условие на входной границе. Если, например, для конвективных членов выбрана схема «чехарда» (разд. 3.1.6), а для членов, описывающих диффузию, схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, как в уравнении (3.166), то

) Следуя методу дискретных возмущений (разд. 3.1.5.а) и пренебрегая конвективными членами и членами, описывающими диффузию в направлении оси у, получаем 11+/ = , + (Д/Re) (Дз, / + / - 2£/-i, /)/аД Предположив, что решение стационарно, а в / введено возмуще* ние б, получим (1]+/- If /)/Ь = М/{Це Ах), причем член, стоящий в пра-вой части, положителен. Следовательно, имеет тот же знак, что и б, т. е. вязкий член приводит к статической неустойчивости.

в действительности накладывается в точке i = 1, вызывая тем самым монотонный рост ошибки или статическую неустойчивость ).

Исследование устойчивости при помощи метода дискретных возмущений показывает также, как разрешить эту проблему. Устойчивость члена д%/дх достигается дополнительным сдвигом этого члена иа один слой по времени. В результате получается



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199