Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [ 95 ] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

С учетом равенств (3.587) но известным значениям во внутренних точках находится с точностью второго порядка значение и на выходной границе:

ui,j = ui-i, l - j{vi-i. /+1 -vj-i, i-i). (3.588)

Из-за выбора сетки в методе маркеров и ячеек индексы в уравнении (3.588) часто оказываются иными. В более общем случае, применимом к обоим тинам сеток, формулу (3.588) можно неренисать в следующем виде:

ui, i = Uj-i, / -(у/ 1, /+1/2 - / 1/2). (3.589)

Для давления, как и в разд. 3.5, ставится условие Неймана.

Путре [1970] полагал Р = const на входной и выходной границах и задавал неренад давления Рвх-Рвык- В рассматриваемой им задаче о гидродинамическом иоднятнике это было оправдано. Для составляющей скорости и на входной и выходной границах ставилось условие ди/дх = 0. С учетом уравнения неразрывности это означает, что dv/dy = О, и из условия Vw=0 следует, что Увх = Увых =0, Не ясно, будет ли решение сходиться при таких условиях, наложенных на составляющие скорости, если для давления ставятся менее жесткие условия.

3.7.4. Метод маркеров и ячеек

Методу маркеров и ячеек (метод MAC), предложенному в работах Харлоу и Уэлча [1965] и Уэлча с соавторами [1966], присущи следующие четыре отличительные черты: ирименение уравнений для простейших физических переменных (составляющие скорости и давление), специфическая конечно-разностная схема, специфическая структура ячейки, введение частиц-маркеров.

Такая форма уравнений и их смысл уже обсуждались в связи с уравнениями (3.580) - (3.581). Разностная схема для уравнений количества движения основана на разностях вперед по времени и центральных разностях по пространственным переменным. Подобная схема была рассмотрена в разд. 3.1.1 и последующих разделах; ее устойчивость обсуждалась в разд. 3.1.5 и последующих разделах. Эта схема безусловно неустойчива для течений невязкой жидкости. Однако разностные уравнения в методе MAC несколько отличаются из-за структуры ячейки.

Структура ячейки в методе MAC показана на рис. 3.33. Давление определяется в центре ячейки, как, например, Р,-, / или Р/+1, /. Составляющая скорости и определяется в середине левой И правой сторон ячейки как Ui+n.j и Ui-\iz,j. Составляющая ско-



рости V определяется в середине верхней и нижней сторон ячейки как о,,/+1/2 и Vt, 1-1/2. Во всех точках, где это возможно, конечно-разностные аналоги производных по пространственным переменным находятся при помощи центральных разностей на одном

+1,7-1

Рис. 3.33. Система ячеек и позиции для расчета в методе маркеров и ячеек.

шаге пространственной сетки Например, прн расчете производной по времени

,,п + \ ,,п

"t + 1/2 ; ~ "t + 1/2 /

член дР1дх\1+т. I вычисляется следующим образом.

1+ 1/2,/

а члены вида ди/дх находятся так:

"i+3/2 /~2"( + 1/2 /+»(-1/2, /

(3.590)

(3.591)

(3.592)

г-и/2, /

(в правой части формулы верхний индекс п опущен). При расчете производной

5 («2) "

i + U2, J

".-hi /-"i,/

(3.593)



(")/+l/2, /+ 1/2 - (»Р)»-1/2, /+ 1/2 Я/, /+1 - Pi, I

Дх А(/

1 ( "i. l+3/2~°i. l+m+"i. 1-\12 .

Re V Дг/

t+i, /+1/2 ~ /+1/2 + /+1

4- -.wj.;. .-,;-г 1/21 (3.5966)

(индекс п в правой части уравнений опущен для простоты записи). Член Sp, входящий в уравнение (3.581а), находится при помощи аналогичных разностей и следующего разностного представления:

i.l It

/. /

(3.597)

(Эта формула ставит условие 0"+ =0.) В результате получаем

~ Р li-1~ Дх Ду 1"-1+Ч2, !+ 1/2

- («),- + l/2. 1-112 - («У)/-1/2, /+1/2 + («У)/-1/2. /-1/2] +

j 4/+1-24/+4/-1 Д.-,/

необходимо определить и в центре ячейки. Это можно сделать при помощи осреднения:

Ui+u 1 = Ч2 («<+з/2, / + и<+1/2, /). (3.594)

Произведения, например uv, вычисляются как произведение средних величин, но не как среднее произведений:

(МУ),-+1/2, / + 1/2= /2 («» + 1/2, /• + «1 + 1/2, /+l) • /2 (У(+1,/+1/2 + Vi, 1+112).

(3.595)

Тогда конечно-разностные аналоги уравнений (3.580) будут иметь вид

«?il/2, / = «г + 1/2, / + -

""Ь + 1/2, /+1/2 ~ (»)/+l/2. /- 1/2 Pi+l, 1-Pi,i ,

Д(/ "Г

J "/ + 3/2, /~ 2"/+1/2. /+"/-1/2, / ,

Re V Дх

«/+1/2, ,+х-2ш+1.!-т+щ. j-i-jj (3 5gg ГЛ./2 = «/,ж/2 + А{-""-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [ 95 ] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199