Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

чайного процесса на выходе линейного элемента в случае негаус-совского характера процесса на его входе можно воспользоваться полигауссовскими методами анализа. Этот вопрос будет рассмотрен более подробно в следующем параграфе.

4.5. Преобразование полигауссовских воздействий линейными и нелинейными устройствами

Разложение исходного вероятностного распределения в сумму гауссовских не означает соответствующего разложения реализаций случайного сигнала (помехи), поэтому полигауссовские модели не связаны с принципом суперпозиции в выборочном пространстве и, следовательно, применимы при анализе как линейных, так и нелинейных устройств [29J.

При анализе линейных устройств полигауссовские модели особенно удобны вследствие их инвариантности относительно линейных преобразований: применяя известные выражения для линейной функции случайного аргумента и представляя соотношения для гауссовских компонент в матричной форме (см. [1]), получаем, что реакция линейного устройства Ujjy() на полигауссовское воздействие Ubx={«i..... «л} с -мерной плотностью вероятности

гЫ- 2 9„(2n)-*/2(detM3,„)-i/2x

X ехр I - (Пзх - т „) (Мз „)- (Пз - „) j (4.26)

является полигауссовской при том же числе п и параметрах </„ компонент:

("лу) == 2 9п (2я)-*/ (det Млу гд" X

X ехр { - (илу - Шлу п)"" (Млу пГ (Илу - лу п)}- (4.27)

В (4.26) и (4.27) индекс Т означает транспонирование вектора, стоящего в скобках, т. е. вектора-строку матрицы М. Векторы математических ожиданий Шлуп и корреляционные матрицы Млуп гауссовских компонент выходного процесса выражаются через параметры системы и входных компонент известными в корреляционной теории формулами [1-3].

Так, при анализе физически реализуемой нестационарной линейной системы с импульсной характеристикой h{l, е, /) в текущем времени t={i+e)M (где f=l, 2,..., е[0, Ц; M=ti+i-ti) элементы матриц и векторов из (4.27)

Млуп (л 8г, /8;) =

= 2 2 Л(. 8г»,,)Л(/еиМ„„(-х/вх). (4.28)



(4.29)

В отличие от известных методов преобразования моментных или кумулянтных [1-3] функций полигауссовский анализ не связан с многократными интегралами, и при любом числе компонент даже приближенное решение сохраняет теоретико-вероятностный характер.

Полигауссовские явления образуют более широкий, чем гауссовский, класс случайных явлений, инвариантных к линейным преобразованиям. Нелинейные задачи также сводятся к гауссовским: при полигауссовском возбуждении нелинейной системы реакция является смесью того же числа распределений откликов на гауссовские воздействия [29].

Многие задачи теории обнаружения сигналов нуждаются в анализе соединений типовых линейных инерционных и нелинейных безынерционных устройств. Их решения можно получить в общем виде полигауссовскими методами [19, 29].

При параллельном соединении типовых звеньев результирующий процесс, будучи алгебраической суммой полигауссовских процессов, также является полигауссовским. Комбинируя указанные приемы, можно свести к корреляционному уровню многие задачи анализа преобразования негауссовских случайных процессов в нелинейных и инерционных радиотехнических устройствах.

Обратимся к устойчивости полигауссовского анализа относительно погрешности аппроксимации производных воздействий.

4.6. Оценка погрешностей полигауссовского анализа

Предыдущие результаты точны при полигауссовских воздействиях, но если входные воздействия только аппроксимированы полигауссовскими моделями, при анализе возникает погрешность, оценку которой начнем со случая невырожденного линейного преобразования.

Как известно, при линейном преобразовании иЕых=Аивх совместная плотность отсчетов выходного напряжения

(Uekx) =det-Weж{A-Usыx), (4.30)

где А-1 - матрица обратного преобразования от случайных величии Ubhz к случайным величинам Uex, detA-*-определитель этой матрицы. Тогда при полигауссовской аппроксимации плотности вероятности входного вектора

\Wbx ("вх) - 2 9п Швх п (ubx)I < евх (4-31)

получим

\ч>вы{ивьпд-Л 9павых("вых)1<8вых = евх<1е!А-«. (4.32)

3* 67



откуда следует, что для обеспечения заданной погрешности еа полигауссовского анализа невырожденного линейного преобразования произвольно заданного входного напряжения достаточно использовать полигауссовскую аппроксима-нию последнего с погрешностью

ввх eA/det А-» = 8а det А, (4.33)

где detA - определитель матрицы анализируемого преобразования.

Применительно к нелинейным инерционным преобразованиям указанный прием приводит к значительно менее определенной оценке

ивых(ивьи) - 2 9пИвыхп(ивых)1 < п=1

д Овх ("вых)

а иных!

(4.34)

где UBi!(uBir) = {uBi!i(uBbixi), Ubx л(»1вых ft)} ссть кя вствь обратного преобра-

зования; ti-l, 2,...;-- -якобиан соответствующего обратного пре-

д Цвых

образования. Практическое использование полученного неравенства основано на том, что в любых реальных устройствах динамический диапазон входных и выходных сигналов ограничен известными пределами Ывх т«71"вх"вх то* и

«вых тгпЫвыхЫвых тозс, а также ограничсны величины Это позволяет перейти к оценке

вькСчвых) - 2 9пВУвЫХ71(ивЫЗс) <

<1».

<евх max 2 [и

п=1 аЦвх(Цвых»<)

(4.35)

откуда следует, что по известным энергетическим и динамическим свойствам анализируемого устройства можно подобрать погрешность полигауссовской аппроксимации входного воздействия

евх<евых/тах2

(4.36)

достаточную для получения приближенного решения задачи анализа с заданной погрешностью 8вых.

Однако во многих задачах даже гауссовский анализ инерционной нелинейности не имеет точного решения и выполняется приближенно, т. е. определение плотности вероятности Ювых п (Ивых) реакции инерционной нелинейности на гауссовское воздействие с плотностью Швх в (ubx) проводится приближенно

Мвых n(tlBbix) Ивых п (ивых)+егаусс. (4.37)

Тогда

\Wbux (чвых) - И Qn Швых п ("вых)! < п=1

< Евх шах 2

ЭЫвхи

+ 8гаусс(1 - 8вх)«



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95