 |
 |
 |
 |
результатам независимых наблюдений Xi, Xz,..., Хп вычисляется эмпирическая ФР F*n(x)-k(x)ln, которая используется для оценки «расстояния» между гипотетическим и эмпирическим распределениями d{F*n{x), G{x)). Эмпирическая ФР, как известно, определяется через относительное число наблюдений k{x), удовлетворяющих неравенству Xi<,x, т. е. F*n(x)=k(x)fn. Если эта оценка меньше некоторого порога С, который определяется заданным уровнем значимости ci (вероятности ложного обнаружения), то выносится решение в пользу гипотезы Яо, в противном случае принимается альтернатива Яь Величина порога находится из соотношения
P{d{F*n{x), G(x)>C\Ho)}=au (8.5)
Тесты согласия, основанные на статистиках di (Колмогорова), d2 (Репьи), ds (Мизеса), при непрерывном распределении G{x) являются непараметрическими [38, 41]. Иными словами, при справедливости гипотезы Яо распределение функционала d(F*n(x), G{x)) не зависит от распределения G{x). Напомним, что непа-раметричность здесь понимается в том смысле, что какова бы ни была функция G{x), пороговый уровень С обеспечивает заданную вероятность оь В литературе известны выражения и таблицы распределений (8.5) для различных тестов согласия (см., например, [78]). По заданной вероятности oi и числу наблюдений п с помощью этих выражений (таблиц) можно найти порог принятия решения С.
При работе с этими тестами для вычисления статистики d необходимо знать функцию G{x). Поэтому применение тестов для обнаружения сигнала на фоне помехи с заданной ai возможно, если распределение помехи G{x) точно определено - простая гипотеза Яо. В практике обнаружения чаще приходится иметь дело с ситуацией, когда распределение G{x) неизвестно или известно с точностью до некоторого параметра - сложная гипотеза Яо. В этом случае для проверки гипотезы Яо о тождественности распределения помехи и наблюдаемого процесса можно воспользоваться двухвыборочными вариантами рассмотренных правил, в частности тестом Колмогорова - Смирнова [38, 41], статистика которого определяется, как
d{F*nix), G*m{x))=Sup\F*nix)-G*m{x)\, (8.6)
где G*m.{x) и F*n(x)-эмпирические ФР помеховой выборки уи
У2,... , Ут и испытуемой Хи Xi, ... , Хп-
Таким образом, проверяется гипотеза однородности составной выборки размераm-j-n, т.е. гипотезаjF(х) = G(х) относительно альтернативы общего вида Р(х)ФО{х). Хотя здесь распределение помехи неизвестно, но известно, что отсчеты у являются помеховыми, поэтому выборка уи у,..., ут является обучающей (опорной), а смысл теста сводится к нахождению степени различия - контраста между выборками. Аналогично могут быть получены
выражения для двухвыборочных вариантов статистик других тестов.
Тесты, основанные на сравнении функций распределения, состоятельны при всех возможных альтернативных распределениях, т. е. вероятность принятия альтернативы, когда она действительно имеет место, стремится к единице при неограниченном возрастании размера выборки. Другими словами, при достаточно большом числе испытаний можно обнаружить любое отклонение между функциями F{x) и С{х) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Таким образом, рассмотренные тесты, позволяя уловить незначительные различия между F{x) и G{x), требуют сравнительно большого числа наблюдений и сложны в вычислительном отношении. Их можно рекомендовать к применению в наиболее общем случае априорной неопределенности, когда неизвестен характер различия распределений при гипотезе и альтернативе. Тем не менее известны попытки применения тестов Колмогорова - Смирнова, Мизеса в задаче обнаружения сигнала в аддитивном шуме.
Для наиболее часто встречающихся альтернатив, таких, как альтернатива сдвига F{x) = G{x-а) {а - некоторая постоянная), характерная, в частности, для задачи когерентного обнаружения, альтернатива масштаба F{x) = G{x\a) или общего вида F(x)< <iG(x), характерная для задачи некогерентного обнаружения, проще и зачастую эффективнее оказываются правила, основанные на знаковых и ранговых статистиках.
Знаковый тест является одним из наиболее простых непараметрических тестов [41]. Статистика его основана на учете полярностей (знаков) независимых наблюдений Xi, Х2,..., Хп
S= YhiXi), h(xd 1=1
1, х,>д,
(8.7)
О, xj<0.
Тест применим для проверки гипотезы Яо о том, что медиана распределения G(x) ** равна нулю против альтернативной гипотезы Hi о том, что медиана распределения F{x)>0. В остальном G{x) и F{x) произвольные. Это соответствует, в частности, задаче обнаружения положительного сигнала на фоне аддитивной стационарной помехи с симметричной плотностью вероятности W{x) и нулевым средним.
* Иногда вместо (8 7) рассматривают центрированную статистику, вид которой объясняет название теста
Знаковая функция связана с функцией единичного скачка соотношением Sgn(x) = 2h(x)~l.
** Медиана Хт функции распределения G(x), как известно, определяется из соотношения G(Xm)=P(x<Xm) = - . При симметричной плотности вероятности медиана и математическое ожидание совпадают. 160
Когда медиана G{x) неизвестна, а известно лишь, что она меньше медианы F(x), приходим к двухвыборочному знаковому тесту, основанному на подсчете знаков разностей пар наблюдений помеховой уи i/a,.- , Уп и исследуемой Х\, Х2,..., Хп выборок
S=ih{Xi-yi). (8.8>
Для принятия решения статистика S испытывается на порог Су определяемый по заданной вероятности ai из соотношения
Р(5>СЯо)=а,.
Нетрудно видеть, что число единиц в суммах (8.7) и (8.8) эквивалентно числу положительных исходов в схеме испытаний Бер-нулли, поэтому вероятность превышения порога С
P(S>C)= 2 . Pd-P)"-". (8.9) f=c+i \ i J
где p=P(x>y) - G(x)dF{x) - вероятность события x>y(x>-, >0); " ) ~ сочетаний из п по i.
Для гипотезы Яо вероятность р-1/2, поэтому вероятность ложного отклонения гипотезы (ложного обнаружения)
«.P(S>CflJ-(i)" JJ) (8.10)
не зависит от G{x), что и доказывает непараметричность теста4
Вероятность принятия альтернативы, когда она справедлива» естественно, зависит от G{x) и F{x). Соотношение (8.9) определяет рабочую характеристику теста - зависимость вероятности правильного обнаружения от параметра р, характеризующего различие между гипотезой и альтернативой.
Более мощными оказываются ранговые тесты (ом. гл. 5), которые, в отличие от знакового, учитывают не только факт, но и степень отклонения элементов исследуемой выборки от некоторого уровня или элементов опорной выборки.
Рангом Ri элемента выборки Xi называется порядковый номер этого элемента в вариационном ряду, составленном из элементов X (или хну), упорядоченных по какому-либо признаку, например расположенных в порядке возрастания от меньшего к большему. Так, в вариационном ряду уухухху... значения рангов соответствующих отсчетов X, образующих ранговый вектор, равны 3, 5, 6.....
Нетрудно видеть, что ранг Ri элемента х,- вычисляется череэ
функцию единичного скачка /i (л:) - *
О, л:<0
Ri=-LhiXi-yj)+-Z h(Xi-Xu), RiU, m + n + l], (8.11)
j=i fe=i
где m и «- числа элементов у н x соответственно. 6-186
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95