 |
 |
 |
 |
Ниже будут рассматриваться двухвыборочные знаковые и ран-. овые обнаружители (Неймана - Пирсона и последовательного пша), их характеристики при конечном числе наблюдений. Для иольшинства задач обнаружения переход от сигнала к рангу (знаку) целесообразно проводить после предварительной обработки сигналов (фильтрации, временной, пространственной, поляризационной селекции, детектирования и пр.), производимой тра-шционными устройствами, а непараметрический алгоритм применять уже на заключительном этапе принятия решения.
Аддитивное взаимодействие сигнала и помехи, которое наиболее часто имеет место в реальной обстановке, приводит к альтернативе сдвига F{x) = G{x-a). Однако на практике сигнал н большинстве случаев обрабатывается после детектирования, что вызывает изменение формы функции распределения (плотности) и приводит к альтернативе более общего вида F{x)<.G{x), которая в основном и рассматривается ниже.
8.2. Знаковый обнаружитель
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне помехи с произвольным неизвестным распределением. Известно лишь, что отсчеты смеси сигнала с помехой статистически больше отсчетов помехи. Это значит, что случайная величина
hi =h{Xi-yi) =
1, Xt>yi, О, x,<yi
(где Xi и yi независимые отсчеты испытуемой хи Х2, Хп и помеховой выборок у\, у2, Уп) примет с вероятностью р=1/2 значения О или 1, если X - помеха, и с вероятностью Р>~ значение 1, если X - смесь сигнала с помехой.
Задача обнаружения формулируется как проверка гипотезы
Яо о том, что p=P(/i= 1) , против альтернативы Hi о том, что Р>--
Нетрудно показать, что оптимальный знаковый обнаружитель в этом случае использует статистику, основанную на сумме
S hi (8.8). Действительно, в соответствии с критерием Нейма-
на - Пирсона обнаружитель должен вычислять отношение правдоподобия
Распределение Числа единичных значений hi при независимых испытаниях и обеих гипотезах биномиальное, поэтому
где Pi и Po - значения вероятности p при Я1 и Яо соответственно. После логарифмирования и подстановки Ро=~ получаем
Я (h) = log А (h) = n log 2 (1 - pi) + 2 hi log
,=1 I - Pi
откуда следует алгоритм обнаружения
S= S hi>C
(8.30>
Величина порога обнаружения С определяется через биномиальное распределение статистики S при гипотезе по заданной вероятности ложной тревоги ai [см. (8.10)]. Заметим, что требование стационарности помехи и постоянства полезного сигнала необязательно, лишь бы при их взаимодействии соблюдалось условие р> -.
Схема знакового обнаружителя представлена на рис. 8.1,с. Она состоит из схемы сравнения (СС), сумматора (2), запоминающего устройства (ЗУ), где хранится значение статистики за предыдущие периоды наблюдения, и порогового устройства (ПУ). При временном разделении каналов для формирования опорного отсчета возможно использование канала, соседнего с испытуемым. В этом случае испытуемый Х{ и опорный Уг отсчеты разделяются с помощью линии задержки (ЛЗ) (рис. 8.1,6) интервалом разрешения.
Свойство непараметричности, простота реализации и приемлемые в ряде случаев характеристики обнаружения делают применимым знаковый обнаружитель для обнаружения акустических сигналов в гидролокации, радиосигналов в радиолокации и радионавигации, оптических сигналов и др.
Можно провести аналогию между знаковым обнаружителем с временным разделением каналов и двоичным радиолокационном обнаружителем, работающим по методу «k из п». В обнаружителе из «» сигн<л после детектирования квантуется на два уров-
Решение
Рис. 8.1. Структурная схема знакового обнаружителя
ня о и 1. За л периодов повторения (зондирования) подсчитывает-ся число единиц (сигналов, превысивших порог квантования), которое и сравнивается с порогом k. Как видно, отличие обнаружителя от знакового состоит только в том, что испытуемый отсчет сравнивается с некоторым постоянным порогом квантования уо установленным заранее, исходя из предполагаемого уровня нормальной помехи. В знаковом обнаружителе испытуемый отсчет сравнивается с порогом, мгновенное значение которого определяется отсчетом помехи. Этим приобретается новое свойство обнаружителя - его непараметричность.
8.3. Алгоритм многоканального рангового обнаружителя
В классических ранговых тестах, как уже указывалось, вычисляются значения рангов отсчетов испытуемой выборки Xi, Хч, ... ..; Хп относительно отсчетов опорной выборки уи у2, Уп [см. (8.11)].
В ряде приложений целесообразней по причинам как принципиального, так и технического характера модифицировать способ ранжирования таким образом, что при каждом i-u наблюдении обновляется опорная выборка и вычисляется ранг отсчета
относительно этой опорной выборки Уг1, Уг2, Угт- То ССТЬ Ri =
= 2 (л:,-гз) Ч-1, R[i, т+1]. По истечении п наблюдений «=1
определяется ранговый вектор наблюдений R= (i?i, R2, .... Rn), по которому вычисляется ранговая статистика S(R). В частности, это может быть статистика вилкоксоновского типа, основанная на сумме рангов
S= 2 Рг. (8.31)
Подчеркнем, что хотя формально запись (8.31) не отличается от записи статистики (8.13), ранг Ri для этих тестов определяется по-разному: в (8.31) ранг i-ro отсчета Хг вычисляется относительно t-й т. е. «своей», опорной выборки.
Формирование опорной выборки необходимо при каждом наблюдении потому, что вследствие нестационарности помехи выборка ее при одном наблюдении может оказаться непредставительной для другого. Пусть, например, интенсивность помехи при первом наблюдении мала, а в остальных она оказалась большей. Тогда если пользоваться одной (первой) опорной выборкой, то получим для отсчетов хи Хз, Хп большие значения рангов даже при справедливости гипотезы Яо, т. е. произойдет ложное обнаружение. И наоборот, большая интенсивность помехи при первом наблюдении может привести к пропуску сигнала, если при остальных наблюдениях она стала меньше. Кроме того, технически проще обновлять выборку, чем хранить (запоминать) ее в течение всего времени наблюдения. Наконец, использование не одной,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95